Dados subespaços do espaço vetorial determinar, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de .
(ii) uma base e a dimensão de .
(iii) uma base e a dimensão de .
(iv) uma base e a dimensão de .
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois subespaços, e , dentro do espaço vetorial . Precisamos descobrir, para cada subespaço e para algumas combinações deles, uma base e a dimensão. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como bases de subespaços, dimensão, soma de subespaços e interseção de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base e a dimensão de .
Entendendo :
.
Isso significa que todo vetor em tem a forma . Geometricamente, é o plano no espaço tridimensional.
Encontrando uma base para :
Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Para , podemos escolher vetores que “variam” nas direções e .
Por exemplo:
Verificando linearmente independentes:
Nenhum múltiplo de e vice-versa, então são linearmente independentes.
Dimensão de :
A dimensão é o número de vetores na base. Aqui, temos 2 vetores, então .

Passo 3

Agora, vamos determinar uma base e a dimensão de .
Entendendo :
é gerado pelos vetores , , e . Precisamos verificar quais desses vetores são linearmente independentes para formar uma base.
Verificando a independência linear:
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e reduzir para a forma escalonada:
Após realizar operações de linha, percebemos que alguns vetores são combinações lineares dos outros. Nesse caso, descobrimos que apenas dois vetores são necessários para gerar .
Escolhendo a base:
Podemos escolher e como base para .
Dimensão de :
Como a base tem 2 vetores, .

Passo 4

Vamos agora encontrar uma base e a dimensão de e de .
Soma de subespaços :
A soma consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor em e um vetor em . Para encontrar uma base, combinamos as bases de e e verificamos a independência linear.
Base combinada:
Após verificar, constatamos que apenas três vetores são necessários para gerar todo , então a base de é:
Dimensão de :
Com 3 vetores na base, .
Interseção de subespaços :
A interseção contém todos os vetores que estão tanto em quanto em . Para encontrar isso, resolvemos:
Resolvendo o sistema, descobrimos que a única solução é o vetor nulo, ou seja, .
Dimensão de :
Como só contém o vetor zero, .

Resposta

(i) Base de : , dimensão .
(ii) Base de : , dimensão .
(iii) Base de : , dimensão .
(iv) Base de : , dimensão .

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