Seja (S, preccurlyeq) um conjunto parcialmente ordenado. Determine a relação de recobrimento da ordem parcial a mid b no conjunto D12= 1,2,3,4,6,12 dos divisores de 12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a relação de recobrimento na ordem parcial definida pelo “divide” ( a mid b) dentro do conjunto D12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12. Isso envolve teoria de ordem parcial, especificamente entendendo como os elementos desse conjunto se relacionam através da divisibilidade. Vamos precisar entender o que é uma relação de recobrimento e como identificar esses pares no nosso conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma ordem parcial. Uma ordem parcial é uma relação binária que é reflexiva, antissimétrica e transitiva. No nosso caso, estamos falando da divisão, ou seja, a mid b significa que a divide b sem deixar resto.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é a relação de recobrimento. Em uma ordem parcial, uma relação de recobrimento (ou cobertura) entre dois elementos a e b significa que a mid b e não existe nenhum elemento c no conjunto que satisfaça a mid c mid b além de a e b. Ou seja, b cobre a se não tem nenhum elemento “intermediário” entre eles na relação de divisão.

Passo 4

Vamos listar todos os pares (a, b) onde a mid b no conjunto D12. O conjunto é 1, 2, 3, 4, 6, 12.
  • 1 mid 2
  • 1 mid 3
  • 1 mid 4
  • 1 mid 6
  • 1 mid 12
  • 2 mid 4
  • 2 mid 6
  • 2 mid 12
  • 3 mid 6
  • 3 mid 12
  • 4 mid 12
  • 6 mid 12

Passo 5

Agora, vamos determinar quais desses pares são realmente relações de recobrimento, ou seja, não têm nenhum elemento intermediário entre eles.
  • 1 mid 2: Não há elementos entre 1 e 2 no conjunto, então é uma relação de recobrimento.
  • 1 mid 3: Similarmente, não há elementos entre 1 e 3, então também é uma relação de recobrimento.
  • 1 mid 4: Existe o elemento 2 entre 1 e 4 (já que 1 mid 2 mid 4), então não é uma relação de recobrimento.
  • 1 mid 6: Existem os elementos 2 e 3 entre 1 e 6 (por exemplo, 1 mid 2 mid 6 e 1 mid 3 mid 6), então não é uma relação de recobrimento.
  • 1 mid 12: Tem vários elementos intermediários, então não é uma relação de recobrimento.
  • 2 mid 4: Não há elementos entre 2 e 4, então é uma relação de recobrimento.
  • 2 mid 6: Não há elementos entre 2 e 6, então é uma relação de recobrimento.
  • 2 mid 12: Existe o elemento 4 e 6 entre 2 e 12, então não é uma relação de recobrimento.
  • 3 mid 6: Não há elementos entre 3 e 6, então é uma relação de recobrimento.
  • 3 mid 12: Existe o elemento 6 entre 3 e 12, então não é uma relação de recobrimento.
  • 4 mid 12: Não há elementos entre 4 e 12, então é uma relação de recobrimento.
  • 6 mid 12: Não há elementos entre 6 e 12, então é uma relação de recobrimento.

Resposta

A relação de recobrimento na ordem parcial a mid b no conjunto D12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 é composta pelos seguintes pares:
, (1,,2),; (1,,3),; (2,,4),; (2,,6),; (3,,6),; (4,,12),; (6,,12) ,

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