Seja um conjunto parcialmente ordenado. Determine a relação de recobrimento da ordem parcial no conjunto dos divisores de 12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a relação de recobrimento na ordem parcial definida pelo “divide” ( ) dentro do conjunto . Isso envolve teoria de ordem parcial, especificamente entendendo como os elementos desse conjunto se relacionam através da divisibilidade. Vamos precisar entender o que é uma relação de recobrimento e como identificar esses pares no nosso conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma ordem parcial. Uma ordem parcial é uma relação binária que é reflexiva, antissimétrica e transitiva. No nosso caso, estamos falando da divisão, ou seja, significa que divide sem deixar resto.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é a relação de recobrimento. Em uma ordem parcial, uma relação de recobrimento (ou cobertura) entre dois elementos e significa que e não existe nenhum elemento no conjunto que satisfaça além de e . Ou seja, cobre se não tem nenhum elemento “intermediário” entre eles na relação de divisão.

Passo 4

Vamos listar todos os pares onde no conjunto . O conjunto é .

Passo 5

Agora, vamos determinar quais desses pares são realmente relações de recobrimento, ou seja, não têm nenhum elemento intermediário entre eles.
  • : Não há elementos entre 1 e 2 no conjunto, então é uma relação de recobrimento.
  • : Similarmente, não há elementos entre 1 e 3, então também é uma relação de recobrimento.
  • : Existe o elemento 2 entre 1 e 4 (já que ), então não é uma relação de recobrimento.
  • : Existem os elementos 2 e 3 entre 1 e 6 (por exemplo, e ), então não é uma relação de recobrimento.
  • : Tem vários elementos intermediários, então não é uma relação de recobrimento.
  • : Não há elementos entre 2 e 4, então é uma relação de recobrimento.
  • : Não há elementos entre 2 e 6, então é uma relação de recobrimento.
  • : Existe o elemento 4 e 6 entre 2 e 12, então não é uma relação de recobrimento.
  • : Não há elementos entre 3 e 6, então é uma relação de recobrimento.
  • : Existe o elemento 6 entre 3 e 12, então não é uma relação de recobrimento.
  • : Não há elementos entre 4 e 12, então é uma relação de recobrimento.
  • : Não há elementos entre 6 e 12, então é uma relação de recobrimento.

Resposta

A relação de recobrimento na ordem parcial no conjunto é composta pelos seguintes pares:

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Se , determine os valores de de modo que os vetores e sejam: (a) perpendiculares; (b) paralelos.
Dadas as retas e e o ponto , determine a reta que passa por , intersecta em e em de tal modo que seja o ponto médio do segmento .
(Sugestão: Escreva as equações paramétricas de e ).
Sejam e três vetores tais que o ângulo entre quaisquer dois deles, nessa ordem, é . Sabendo que e , calcule .
Determine a reta simétrica à reta em relação à reta , onde:
, e .