Seja
um conjunto parcialmente ordenado. Determine a relação de recobrimento da ordem parcial
no conjunto
dos divisores de 12.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a relação de recobrimento na ordem parcial definida pelo “divide” (
) dentro do conjunto
. Isso envolve teoria de ordem parcial, especificamente entendendo como os elementos desse conjunto se relacionam através da divisibilidade. Vamos precisar entender o que é uma relação de recobrimento e como identificar esses pares no nosso conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma ordem parcial. Uma ordem parcial é uma relação binária que é reflexiva, antissimétrica e transitiva. No nosso caso, estamos falando da divisão, ou seja,
significa que
divide
sem deixar resto.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é a relação de recobrimento. Em uma ordem parcial, uma relação de recobrimento (ou cobertura) entre dois elementos
e
significa que
e não existe nenhum elemento
no conjunto que satisfaça
além de
e
. Ou seja,
cobre
se não tem nenhum elemento “intermediário” entre eles na relação de divisão.
Passo 4
Vamos listar todos os pares
onde
no conjunto
. O conjunto é
.
Passo 5
Agora, vamos determinar quais desses pares são realmente relações de recobrimento, ou seja, não têm nenhum elemento intermediário entre eles.
-
: Não há elementos entre 1 e 2 no conjunto, então é uma relação de recobrimento. -
: Similarmente, não há elementos entre 1 e 3, então também é uma relação de recobrimento. -
: Existe o elemento 2 entre 1 e 4 (já que ), então não é uma relação de recobrimento. -
: Existem os elementos 2 e 3 entre 1 e 6 (por exemplo, e ), então não é uma relação de recobrimento. -
: Tem vários elementos intermediários, então não é uma relação de recobrimento. -
: Não há elementos entre 2 e 4, então é uma relação de recobrimento. -
: Não há elementos entre 2 e 6, então é uma relação de recobrimento. -
: Existe o elemento 4 e 6 entre 2 e 12, então não é uma relação de recobrimento. -
: Não há elementos entre 3 e 6, então é uma relação de recobrimento. -
: Existe o elemento 6 entre 3 e 12, então não é uma relação de recobrimento. -
: Não há elementos entre 4 e 12, então é uma relação de recobrimento. -
: Não há elementos entre 6 e 12, então é uma relação de recobrimento.
Resposta
A relação de recobrimento na ordem parcial
no conjunto
é composta pelos seguintes pares:
Exercícios relacionados
Se
, determine os valores de
de modo que os vetores
e
sejam: (a) perpendiculares; (b) paralelos.
Dadas as retas
e
e o ponto
, determine a reta que passa por
, intersecta
em
e
em
de tal modo que
seja o ponto médio do segmento
.
(Sugestão: Escreva as equações paramétricas de e
).
(Sugestão: Escreva as equações paramétricas de
Sejam
e
três vetores tais que o ângulo entre quaisquer dois deles, nessa ordem, é
. Sabendo que
e
, calcule
.
Determine a reta simétrica à reta
em relação à reta
, onde:
, e
.