Dadas a s funções f(x) abaixo, calcule f'(x).
f(x) = (x + 1) / (x ln x)

Passo 1

O exercício nos pede para calcular a derivada da função . Vamos abordar esse problema usando o conteúdo de Derivadas, especificamente a regra do quociente, que é útil quando temos uma função dividida por outra. Precisaremos conhecer as regras básicas de derivação e como aplicar a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que correspondem ao numerador e ao denominador. Na regra do quociente, se temos , então a derivada é dada por:
Aqui, nosso e .

Passo 3

Vamos calcular , a derivada de . A derivada de em relação a é 1, e a derivada de uma constante, como 1, é 0. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular , a derivada de . Aqui, precisamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de é . Aplicando isso:
Sabemos que e . Então:

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente para encontrar :

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Portanto:

Passo 7

Simplificando o numerador:
Então:

Passo 8

Podemos fatorar o numerador:
Portanto, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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