Determine o volume aproximado do sólido no primeiro octante que é limitado pelos plangs e pelo cilindro . (Utilize uma ferramenta gráfica para estimar os ponlos de intersecção.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente precisa encontrar o volume aproximado de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde todas as coordenadas são positivas). Esse sólido é limitado pelos planos , , e pelo cilindro . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria espacial e cálculo de integrais múltiplas. Primeiro, precisamos identificar as regiões onde essas superfícies se intersectam para definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as superfícies se cruzam. Temos o cilindro e o plano . Para encontrar a interseção desses dois, igualamos as duas equações:
Essa equação não tem solução analítica simples, então vamos usar uma ferramenta gráfica para estimar os pontos de interseção. Plotando e , vemos que elas se cruzam aproximadamente em .
Passo 3
Agora que temos o ponto de interseção , vamos definir os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, varia de 0 a aproximadamente 0.739. Para cada valor de , varia de 0 até (já que é o limite superior de ). E para cada , varia de 0 até (pois estamos limitados pelo plano ).
Passo 4
Agora que temos os limites, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, integramos em relação a :
Portanto, a integral agora é:
Passo 6
Para resolver a integral u = x Rightarrow du = dx , vamos usar a técnica de integração por partes. Onde:
dv = cos x , dx Rightarrow v = sin x
integral x cos x , dx = x sin x - integral sin x , dx = x sin x + cos x + C
Aplicando a fórmula de integração por partes V = [ x sin x + cos x ]0^0.739 :
Agora, aplicamos os limites de 0 a 0.739:
Passo 7
Calculando nos limites:
Para 0.739 cdot sin(0.739) + cos(0.739) :
0 cdot sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1
E para V = (0.739 cdot sin(0.739) + cos(0.739)) - 1 :