Determine o volume aproximado do sólido no primeiro octante que é limitado pelos plangs y=x, z=0 e z=x e pelo cilindro y=cos x. (Utilize uma ferramenta gráfica para estimar os ponlos de intersecção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente precisa encontrar o volume aproximado de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde todas as coordenadas são positivas). Esse sólido é limitado pelos planos , , e pelo cilindro . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria espacial e cálculo de integrais múltiplas. Primeiro, precisamos identificar as regiões onde essas superfícies se intersectam para definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as superfícies se cruzam. Temos o cilindro x = cos x e o plano . Para encontrar a interseção desses dois, igualamos as duas equações:
Essa equação não tem solução analítica simples, então vamos usar uma ferramenta gráfica para estimar os pontos de interseção. Plotando e , vemos que elas se cruzam aproximadamente em .

Passo 3

Agora que temos o ponto de interseção , vamos definir os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, varia de 0 a aproximadamente 0.739. Para cada valor de , varia de 0 até (já que é o limite superior de ). E para cada , varia de 0 até (pois estamos limitados pelo plano ).

Passo 4

Agora que temos os limites, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume V = integral0^0.739 integral0^cos x integral0^x dz , dy , dx :
integral0^x dz = x - 0 = x
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a V = integral0^0.739 integral0^cos x x , dy , dx :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, integramos em relação a integral0^cos x x , dy = x cdot y gr|0^cos x = x cdot cos x - x cdot 0 = x cos x :
V = integral0^0.739 x cos x , dx
Portanto, a integral agora é:

Passo 6

Para resolver a integral u = x Rightarrow du = dx , vamos usar a técnica de integração por partes. Onde:
dv = cos x , dx Rightarrow v = sin x
integral x cos x , dx = x sin x - integral sin x , dx = x sin x + cos x + C
Aplicando a fórmula de integração por partes V = [ x sin x + cos x ]0^0.739 :
Agora, aplicamos os limites de 0 a 0.739:

Passo 7

Calculando nos limites:
Para 0.739 cdot sin(0.739) + cos(0.739) :
0 cdot sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1
E para V = (0.739 cdot sin(0.739) + cos(0.739)) - 1 :
Então, o volume é:

Passo 8

Vamos calcular os valores numéricos:
sin(0.739) approx 0.673
cos(0.739) approx 0.739
Então:
V approx (0.739 cdot 0.673) + 0.739 - 1 = 0.497 + 0.739 - 1 = 1.236 - 1 = 0.236

Resposta

O volume aproximado do sólido no primeiro octante é de aproximadamente unidades cúbicas.

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