Determine uma função f tal que nabla f=F e calcule integralC F cdot d r sobre a curva dada, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
(b) F(x, y)=y^21+x^2 i+2 y arctg x j e C: r(t)=t^2 i+2 t j, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma função f tal que o gradiente dela, nabla f, seja igual ao vetor F. Depois, precisamos calcular a integral de linha de F ao longo da curva C usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha. Para isso, vamos precisar entender bem o que é o gradiente de uma função e o que é uma integral de linha. O conteúdo da matéria aqui é cálculo vetorial e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o vetor F(x, y) dado no problema:
F(x, y) = y^21+x^2 i + 2 y arctg x j
O próximo passo é encontrar a função f(x, y) cuja derivada (gradiente) nos dá o vetor F. Para isso, precisamos que:
partial fpartial x = y^21+x^2
e
partial fpartial y = 2 y arctg x

Passo 3

Comecemos integrando a primeira parte:
f(x, y) = integral y^21+x^2 , dx = y^21+x^2 cdot x + g(y),
onde g(y) é uma função de y que precisamos determinar depois.
Agora, vamos derivar essa função em relação a y:
partial fpartial y = 2y cdot x1+x^2 + g'(y)
Para que isso seja igual a 2y arctg x, temos:
g'(y) = 0
Isso significa que g(y) é uma constante. Assim, podemos escrever que:
f(x, y) = y^21+x^2 cdot x + C,
onde C é uma constante qualquer.

Passo 4

Agora que temos a função f(x, y), vamos utilizar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular a integral de linha integralC F cdot dr. O teorema diz que essa integral ao longo da curva é dada por:
integralC F cdot dr = f(r(1)) - f(r(0))
Sabemos que C está definida como r(t) = t^2 i + 2t j, onde 0 <= t <= 1. Portanto, precisamos calcular r(1) e r(0):
  • Para t = 1: r(1) = (1^2, 2(1)) = (1, 2).
  • Para t = 0: r(0) = (0^2, 2(0)) = (0, 0).
Agora vamos calcular f(r(1)) e f(r(0)):
f(1, 2) = 2^21+1^2 cdot 1 + C = 42 + C = 2 + C,
f(0, 0) = 0^21+0^2 cdot 0 + C = 0 + C = C

Resposta

Finalmente, usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, temos:
integralC F cdot dr = (2 + C) - C = 2
Portanto, a integral de linha é igual a 2.

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