Determine uma função tal que e calcule sobre a curva dada, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
(b) e .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma função tal que o gradiente dela, , seja igual ao vetor . Depois, precisamos calcular a integral de linha de ao longo da curva usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha. Para isso, vamos precisar entender bem o que é o gradiente de uma função e o que é uma integral de linha. O conteúdo da matéria aqui é cálculo vetorial e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o vetor dado no problema:
O próximo passo é encontrar a função cuja derivada (gradiente) nos dá o vetor . Para isso, precisamos que:

e

Passo 3

Comecemos integrando a primeira parte:

onde é uma função de que precisamos determinar depois.
Agora, vamos derivar essa função em relação a :
Para que isso seja igual a , temos:

Isso significa que é uma constante. Assim, podemos escrever que:
onde é uma constante qualquer.

Passo 4

Agora que temos a função , vamos utilizar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular a integral de linha . O teorema diz que essa integral ao longo da curva é dada por:
Sabemos que está definida como , onde . Portanto, precisamos calcular e :
  • Para : .
  • Para : .
Agora vamos calcular e :

Resposta

Finalmente, usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, temos:
Portanto, a integral de linha é igual a .

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©
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