Determine uma função
tal que
e calcule
sobre a curva dada, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma função
tal que o gradiente dela,
, seja igual ao vetor
. Depois, precisamos calcular a integral de linha de
ao longo da curva
usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha. Para isso, vamos precisar entender bem o que é o gradiente de uma função e o que é uma integral de linha. O conteúdo da matéria aqui é cálculo vetorial e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o vetor
dado no problema:
O próximo passo é encontrar a função
cuja derivada (gradiente) nos dá o vetor
. Para isso, precisamos que:
e
Passo 3
Comecemos integrando a primeira parte:
onde
Agora, vamos derivar essa função em relação a
:
Para que isso seja igual a
, temos:
Isso significa que
onde
é uma constante qualquer.
Passo 4
Agora que temos a função
, vamos utilizar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular a integral de linha
. O teorema diz que essa integral ao longo da curva é dada por:
Sabemos que
está definida como
, onde
. Portanto, precisamos calcular
e
:
- Para
: . - Para
: .
Agora vamos calcular
e
:
Resposta
Finalmente, usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, temos:
Portanto, a integral de linha é igual a
.
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©
©
Dadas a s funções
abaixo, calcule
.
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