Dadas as seguintes afirmações:
Um vetor nulo é sempre uma combinação linear de outros vetores no
ou no
.
Um vetor nulo é sempre uma combinação linear de outros vetores no
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Um vetor nulo é sempre uma combinação linear de outros vetores no
ou no
.” Vamos trabalhar com álgebra linear aqui, especificamente com combinações lineares e vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e o que é o vetor nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, é quando você multiplica cada vetor por um escalar (um número qualquer) e soma esses resultados. Por exemplo, se tivermos vetores
e
, uma combinação linear deles seria:
onde
e
são números reais.
Passo 3
Agora, o vetor nulo é um vetor onde todas as suas componentes são zero. Em
, é
e em
é
. Queremos ver se esse vetor pode ser escrito como uma combinação linear de outros vetores no mesmo espaço.
Passo 4
Para qualquer conjunto de vetores, a combinação linear onde todos os coeficientes são zero sempre resulta no vetor nulo. Ou seja, se considerarmos:
basta escolher
para que a soma dê o vetor nulo.
Passo 5
Isso significa que o vetor nulo pode sempre ser obtido dessa maneira, independentemente de quais vetores
estamos usando em
ou
.
Resposta
Sim, o vetor nulo é sempre uma combinação linear de outros vetores em
ou
, usando a combinação trivial onde todos os coeficientes são zero.