Dadas as seguintes afirmações:
Um vetor nulo é sempre uma combinação linear de outros vetores no R^2 ou no R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Um vetor nulo é sempre uma combinação linear de outros vetores no R^2 ou no R^3.” Vamos trabalhar com álgebra linear aqui, especificamente com combinações lineares e vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e o que é o vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, é quando você multiplica cada vetor por um escalar (um número qualquer) e soma esses resultados. Por exemplo, se tivermos vetores v1 e v2, uma combinação linear deles seria:
av1 + bv2
onde a e b são números reais.

Passo 3

Agora, o vetor nulo é um vetor onde todas as suas componentes são zero. Em R^2, é (0, 0) e em R^3 é (0, 0, 0). Queremos ver se esse vetor pode ser escrito como uma combinação linear de outros vetores no mesmo espaço.

Passo 4

Para qualquer conjunto de vetores, a combinação linear onde todos os coeficientes são zero sempre resulta no vetor nulo. Ou seja, se considerarmos:
a1v1 + a2v2 + dots + anvn = 0
basta escolher a1 = a2 = dots = an = 0 para que a soma dê o vetor nulo.

Passo 5

Isso significa que o vetor nulo pode sempre ser obtido dessa maneira, independentemente de quais vetores v1, v2, dots, vn estamos usando em R^2 ou R^3.

Resposta

Sim, o vetor nulo é sempre uma combinação linear de outros vetores em R^2 ou R^3, usando a combinação trivial onde todos os coeficientes são zero.

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