Dadas as seguintes afirmações:
Um vetor nulo é sempre uma combinação linear de outros vetores no ou no .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Um vetor nulo é sempre uma combinação linear de outros vetores no ou no .” Vamos trabalhar com álgebra linear aqui, especificamente com combinações lineares e vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e o que é o vetor nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, é quando você multiplica cada vetor por um escalar (um número qualquer) e soma esses resultados. Por exemplo, se tivermos vetores e , uma combinação linear deles seria:
onde e são números reais.
Passo 3
Agora, o vetor nulo é um vetor onde todas as suas componentes são zero. Em , é e em é . Queremos ver se esse vetor pode ser escrito como uma combinação linear de outros vetores no mesmo espaço.
Passo 4
Para qualquer conjunto de vetores, a combinação linear onde todos os coeficientes são zero sempre resulta no vetor nulo. Ou seja, se considerarmos:
basta escolher para que a soma dê o vetor nulo.
Passo 5
Isso significa que o vetor nulo pode sempre ser obtido dessa maneira, independentemente de quais vetores estamos usando em ou .
Resposta
Sim, o vetor nulo é sempre uma combinação linear de outros vetores em ou , usando a combinação trivial onde todos os coeficientes são zero.