Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar números reais , e para que a matriz seja hermitiana. Matriz hermitiana é aquela igual à sua própria transposta conjugada. Para isso, vamos usar os conceitos de matrizes hermitianas e operações com números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser hermitiana. Uma matriz é hermitiana se , onde é a transposta conjugada de . Isso quer dizer que para cada elemento da matriz , ele deve ser igual ao conjugado de .
Passo 3
Vamos escrever a matriz A = 3 & x + 2i & y i 3 - 2i & 0 & 1 + z i y i & 1 - x i & -1 e sua transposta conjugada A^dag>=r = 3 & 3 + 2i & -y i x - 2i & 0 & 1 + x i y i & 1 - z i & -1 :
A transposta conjugada será:
Passo 4
Agora, vamos igualar cada elemento de com o correspondente de :
Onde o asterisco indica o conjugado complexo.
Passo 5
Vamos resolver cada igualdade:
Primeira igualdade:
x + 2i = 3 + 2i
Comparando as partes reais e imaginárias:
x = 3 e 2 = 2 (válido) á
Segunda igualdade:
y i = -y i
Isso implica que:
y i + y i = 0 Rightarrow 2y i = 0 Rightarrow y = 0
Terceira igualdade:
1 + z i = 1 + x i
Como já encontramos z i = 3 i Rightarrow z = 3 :
Passo 6
Resumindo os valores encontrados:
x = 3, y = 0, z = 3
Resposta
Os números que satisfazem a matriz hermitiana são , e .