Encontre números reais x, y e z tais que
A=(ccc 3 & x+2 i & y i 3-2 i & 0 & 1+z i y i & 1-x i & -1 )
seja hermitiana.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar números reais , e para que a matriz seja hermitiana. Matriz hermitiana é aquela igual à sua própria transposta conjugada. Para isso, vamos usar os conceitos de matrizes hermitianas e operações com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser hermitiana. Uma matriz é hermitiana se , onde é a transposta conjugada de . Isso quer dizer que para cada elemento da matriz , ele deve ser igual ao conjugado de .

Passo 3

Vamos escrever a matriz A = 3 & x + 2i & y i 3 - 2i & 0 & 1 + z i y i & 1 - x i & -1 e sua transposta conjugada A^dag>=r = 3 & 3 + 2i & -y i x - 2i & 0 & 1 + x i y i & 1 - z i & -1 :
A transposta conjugada será:

Passo 4

Agora, vamos igualar cada elemento de com o correspondente de :
Onde o asterisco indica o conjugado complexo.

Passo 5

Vamos resolver cada igualdade:
  1. Primeira igualdade:
    x + 2i = 3 + 2i
    Comparando as partes reais e imaginárias:
    x = 3 e 2 = 2 (válido) á
  2. Segunda igualdade:
    y i = -y i
    Isso implica que:
    y i + y i = 0 Rightarrow 2y i = 0 Rightarrow y = 0
  3. Terceira igualdade:
    1 + z i = 1 + x i
    Como já encontramos z i = 3 i Rightarrow z = 3 :

Passo 6

Resumindo os valores encontrados:
x = 3, y = 0, z = 3

Resposta

Os números que satisfazem a matriz hermitiana são , e .

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