Encontre números reais e tais que
seja hermitiana.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar números reais , e para que a matriz seja hermitiana. Matriz hermitiana é aquela igual à sua própria transposta conjugada. Para isso, vamos usar os conceitos de matrizes hermitianas e operações com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser hermitiana. Uma matriz é hermitiana se , onde é a transposta conjugada de . Isso quer dizer que para cada elemento da matriz , ele deve ser igual ao conjugado de .

Passo 3

Vamos escrever a matriz e sua transposta conjugada :
A transposta conjugada será:

Passo 4

Agora, vamos igualar cada elemento de com o correspondente de :
Onde o asterisco indica o conjugado complexo.

Passo 5

Vamos resolver cada igualdade:
  1. Primeira igualdade:
    Comparando as partes reais e imaginárias:
    á
  2. Segunda igualdade:
    Isso implica que:
  3. Terceira igualdade:
    Como já encontramos :

Passo 6

Resumindo os valores encontrados:

Resposta

Os números que satisfazem a matriz hermitiana são , e .

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