Sejam
e
transformações lineares. Prove que
não é invertível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está dizendo que temos duas transformações lineares: uma chamada
que vai de
para
, e outra chamada
que vai de
para
. Nosso objetivo é provar que a composição dessas duas transformações, ou seja,
, que vai de
para
, não é invertível. Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, dimensões de espaços vetoriais e propriedades de matrizes invertíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser invertível. Uma transformação
é invertível se existir outra transformação
tal que
é a transformação identidade. Para isso,
precisa ser uma bijeção, ou seja, deve ser injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (cobre todo o espaço de saída).
Passo 3
Agora, vamos pensar nas transformações
e
. A transformação
vai de um espaço tridimensional (
) para um bidimensional (
). Isso já nos dá uma pista importante: uma transformação de
para
não pode ser injetora. Basicamente, estamos “encolhendo” o espaço, então é impossível que cada vetor em
tenha uma imagem única em
.
Passo 4
Como
não é injetora, existe pelo menos um vetor não nulo em
que é mapeado para o zero em
. Isso significa que a transformação
tem não-trivial o seu núcleo (o conjunto de vetores que são mapeados para zero).
Passo 5
Agora, vamos para a composição
. Essa transformação vai de
para
. Para que
seja invertível, ela precisaria ser injetora e sobrejetora. Mas já sabemos que
não é injetora, o que implica que
também não pode ser injetora.
Passo 6
Além disso, considerando as dimensões,
mapeia
para
, e depois
mapeia
de volta para
. A composição dessas duas transformações resulta em uma transformação linear representada por uma matriz
que tem, no máximo, posto 2 (já que
tem posto no máximo 2). Uma matriz
com posto menor que 3 não é invertível.
Passo 7
Portanto, seja pelo fato de
não ser injetora ou pela análise das dimensões e do posto da matriz resultante, concluímos que
não é invertível.
Resposta
A composição
não é invertível.