Sejam e transformações lineares. Prove que não é invertível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está dizendo que temos duas transformações lineares: uma chamada que vai de para , e outra chamada que vai de para . Nosso objetivo é provar que a composição dessas duas transformações, ou seja, , que vai de para , não é invertível. Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, dimensões de espaços vetoriais e propriedades de matrizes invertíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser invertível. Uma transformação é invertível se existir outra transformação tal que é a transformação identidade. Para isso, precisa ser uma bijeção, ou seja, deve ser injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (cobre todo o espaço de saída).
Passo 3
Agora, vamos pensar nas transformações e . A transformação vai de um espaço tridimensional () para um bidimensional (). Isso já nos dá uma pista importante: uma transformação de para não pode ser injetora. Basicamente, estamos “encolhendo” o espaço, então é impossível que cada vetor em tenha uma imagem única em .
Passo 4
Como não é injetora, existe pelo menos um vetor não nulo em que é mapeado para o zero em . Isso significa que a transformação tem não-trivial o seu núcleo (o conjunto de vetores que são mapeados para zero).
Passo 5
Agora, vamos para a composição . Essa transformação vai de para . Para que seja invertível, ela precisaria ser injetora e sobrejetora. Mas já sabemos que não é injetora, o que implica que também não pode ser injetora.
Passo 6
Além disso, considerando as dimensões, mapeia para , e depois mapeia de volta para . A composição dessas duas transformações resulta em uma transformação linear representada por uma matriz que tem, no máximo, posto 2 (já que tem posto no máximo 2). Uma matriz com posto menor que 3 não é invertível.
Passo 7
Portanto, seja pelo fato de não ser injetora ou pela análise das dimensões e do posto da matriz resultante, concluímos que não é invertível.