Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
(c) (cc5 & -1 1 & 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos os autovalores e autovetores da matriz quadrada dada e, se possível, diagonalizá-la. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender como calcular autovalores e autovetores, e depois usar esses resultados para diagonalizar a matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores de det(A - lambda I) = 0 que satisfazem a equação característica:
A - lambda I = 5 - lambda & -1 1 & 3 - lambda
Aqui, det(A - lambda I) = (5 - lambda)(3 - lambda) - (-1)(1) = (5 - lambda)(3 - lambda) + 1 é a matriz dada e (5 - lambda)(3 - lambda) = 15 - 5lambda - 3lambda + lambda^2 = lambda^2 - 8lambda + 15 é a matriz identidade do mesmo tamanho. Vamos calcular isso:
lambda^2 - 8lambda + 15 + 1 = lambda^2 - 8lambda + 16
O determinante dessa matriz é:
lambda^2 - 8lambda + 16 = 0
Vamos expandir a expressão:
lambda = 8 pm raiz64 - 642 = 8 pm 02 = 4
Então:
lambda = 4
Agora, igualamos a zero:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um autovalor múltiplo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a (A - 4I)v = 0 . Para isso, resolvemos:
A - 4I = 5 - 4 & -1 1 & 3 - 4 = 1 & -1 1 & -1
Calculando 1 cdot v1 - 1 cdot v2 = 0 1 cdot v1 - 1 cdot v2 = 0 :
v1 = v2
Isso nos dá o sistema de equações:
k k
Ambas as equações são iguais, então podemos escrever:
v = 1 1
Isso significa que qualquer vetor da forma , onde , é um autovetor correspondente a . Podemos escolher, por exemplo:

Passo 4

Para diagonalizar a matriz, precisamos de uma matriz de autovetores 1 1 e uma matriz diagonal contendo os autovalores. No entanto, nossa matriz deu um único autovalor com apenas um autovetor linearmente independente .
Como precisamos de dois autovetores linearmente independentes para diagonalizar uma matriz , e temos apenas um, não é possível diagonalizar essa matriz.

Resposta

  • Autovalor: 1 1
  • Autovetor correspondente:
  • Diagonalização: Não é possível diagonalizar a matriz, pois há apenas um autovetor linearmente independente.

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