Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos os autovalores e autovetores da matriz quadrada dada e, se possível, diagonalizá-la. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender como calcular autovalores e autovetores, e depois usar esses resultados para diagonalizar a matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho. Vamos calcular isso:
O determinante dessa matriz é:
Vamos expandir a expressão:
Então:
Agora, igualamos a zero:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um autovalor múltiplo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a . Para isso, resolvemos:
Calculando :
Isso nos dá o sistema de equações:
Ambas as equações são iguais, então podemos escrever:
Isso significa que qualquer vetor da forma , onde , é um autovetor correspondente a . Podemos escolher, por exemplo:

Passo 4

Para diagonalizar a matriz, precisamos de uma matriz de autovetores e uma matriz diagonal contendo os autovalores. No entanto, nossa matriz deu um único autovalor com apenas um autovetor linearmente independente .
Como precisamos de dois autovetores linearmente independentes para diagonalizar uma matriz , e temos apenas um, não é possível diagonalizar essa matriz.

Resposta

  • Autovalor:
  • Autovetor correspondente:
  • Diagonalização: Não é possível diagonalizar a matriz, pois há apenas um autovetor linearmente independente.

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e