Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos os autovalores e autovetores da matriz quadrada dada e, se possível, diagonalizá-la. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender como calcular autovalores e autovetores, e depois usar esses resultados para diagonalizar a matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica:
Aqui,
é a matriz dada e
é a matriz identidade do mesmo tamanho. Vamos calcular isso:
O determinante dessa matriz é:
Vamos expandir a expressão:
Então:
Agora, igualamos a zero:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um autovalor múltiplo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a
. Para isso, resolvemos:
Calculando
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Ambas as equações são iguais, então podemos escrever:
Isso significa que qualquer vetor da forma
, onde
, é um autovetor correspondente a
. Podemos escolher, por exemplo:
Passo 4
Para diagonalizar a matriz, precisamos de uma matriz de autovetores
e uma matriz diagonal
contendo os autovalores. No entanto, nossa matriz deu um único autovalor
com apenas um autovetor linearmente independente
.
Como precisamos de dois autovetores linearmente independentes para diagonalizar uma matriz
, e temos apenas um, não é possível diagonalizar essa matriz.
Resposta
- Autovalor:
- Autovetor correspondente:
- Diagonalização: Não é possível diagonalizar a matriz, pois há apenas um autovetor linearmente independente.
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.
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e