Seja
um
-espaços vetorial e
duas transformações lineares invertíveis sobre
. Prove que
é invertível e
Passo 1
Beleza, você tem um espaço vetorial
sobre o corpo
e duas transformações lineares
e
que mapeiam
em si mesmo de forma invertível. O que precisamos mostrar aqui é que a composição dessas transformações,
, também é invertível e que o inverso dessa composição é exatamente
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformações lineares e inversibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser invertível. Uma transformação linear
é invertível se existe outra transformação linear
tal que:
onde
é a transformação identidade que deixa todo vetor
inalterado.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que a composição
também tem uma transformação inversa. Para isso, vamos propor que o inverso de
seja
e verificar se essa composição realmente funciona como inverso.
Passo 4
Vamos verificar a composição das duas transformações:
E também:
Como ambas as composições resultam na transformação identidade, isso confirma que
é realmente o inverso de
.
Resposta
Portanto,
é invertível e seu inverso é
.