Seja U um K-espaços vetorial e T, S: U U duas transformações lineares invertíveis sobre U. Prove que S circ T é invertível e
(S circ T)^-1=T^-1 circ S^-1

Passo 1

Beleza, você tem um espaço vetorial sobre o corpo e duas transformações lineares e que mapeiam em si mesmo de forma invertível. O que precisamos mostrar aqui é que a composição dessas transformações, , também é invertível e que o inverso dessa composição é exatamente . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformações lineares e inversibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser invertível. Uma transformação linear T circ T^-1 = T^-1 circ T = idU é invertível se existe outra transformação linear tal que:
onde é a transformação identidade que deixa todo vetor inalterado.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que a composição também tem uma transformação inversa. Para isso, vamos propor que o inverso de seja e verificar se essa composição realmente funciona como inverso.

Passo 4

Vamos verificar a composição das duas transformações:
(S circ T) circ (T^-1 circ S^-1) = S circ (T circ T^-1) circ S^-1 = S circ idU circ S^-1 = S circ S^-1 = idU
E também:
(T^-1 circ S^-1) circ (S circ T) = T^-1 circ (S^-1 circ S) circ T = T^-1 circ idU circ T = T^-1 circ T = idU
Como ambas as composições resultam na transformação identidade, isso confirma que é realmente o inverso de .

Resposta

Portanto, é invertível e seu inverso é .

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