Seja um -espaços vetorial e duas transformações lineares invertíveis sobre . Prove que é invertível e

Passo 1

Beleza, você tem um espaço vetorial sobre o corpo e duas transformações lineares e que mapeiam em si mesmo de forma invertível. O que precisamos mostrar aqui é que a composição dessas transformações, , também é invertível e que o inverso dessa composição é exatamente . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformações lineares e inversibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser invertível. Uma transformação linear é invertível se existe outra transformação linear tal que:
onde é a transformação identidade que deixa todo vetor inalterado.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que a composição também tem uma transformação inversa. Para isso, vamos propor que o inverso de seja e verificar se essa composição realmente funciona como inverso.

Passo 4

Vamos verificar a composição das duas transformações:
E também:
Como ambas as composições resultam na transformação identidade, isso confirma que é realmente o inverso de .

Resposta

Portanto, é invertível e seu inverso é .

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Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
Mostre que a transformação linear definida por
é invertível e determine sua inversa.
Encontre números reais e tais que
seja hermitiana.
Dadas as seguintes afirmações:
Um vetor nulo é sempre uma combinação linear de outros vetores no ou no .