Seja um -espaços vetorial e duas transformações lineares invertíveis sobre . Prove que é invertível e
Passo 1
Beleza, você tem um espaço vetorial sobre o corpo e duas transformações lineares e que mapeiam em si mesmo de forma invertível. O que precisamos mostrar aqui é que a composição dessas transformações, , também é invertível e que o inverso dessa composição é exatamente . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformações lineares e inversibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser invertível. Uma transformação linear é invertível se existe outra transformação linear tal que:
onde é a transformação identidade que deixa todo vetor inalterado.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que a composição também tem uma transformação inversa. Para isso, vamos propor que o inverso de seja e verificar se essa composição realmente funciona como inverso.
Passo 4
Vamos verificar a composição das duas transformações:
E também:
Como ambas as composições resultam na transformação identidade, isso confirma que é realmente o inverso de .