Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto. e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: com as condições iniciais e . Vamos classificar a equação e encontrar a solução usando conhecimentos de equações diferenciais ordinárias.

Passo 2

Primeiro, vamos classificar a equação. Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Isso significa que podemos resolver encontrando a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica para é dada por:
Resolvendo essa equação para :
Os valores imaginários indicam que a solução geral será uma combinação de funções seno e cosseno.

Passo 4

Então, a solução geral da equação é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, aplicamos a primeira condição inicial :

Passo 6

Em seguida, calculamos a derivada da solução para aplicar a segunda condição :
Aplicando :

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial dada é:

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