Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Vamos classificar a equação e encontrar a solução usando conhecimentos de equações diferenciais ordinárias.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar a equação. Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Isso significa que podemos resolver encontrando a equação característica associada.
Passo 3
A equação característica para
é dada por:
Resolvendo essa equação para
:
Os valores imaginários indicam que a solução geral será uma combinação de funções seno e cosseno.
Passo 4
Então, a solução geral da equação é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, aplicamos a primeira condição inicial
:
Passo 6
Em seguida, calculamos a derivada da solução para aplicar a segunda condição
:
Aplicando
:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial dada é:
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e