Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto. y'' - 9y = x - 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para classificar a equação diferencial e encontrar sua solução. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é homogênea ou não, e então encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea ou não. Uma equação diferencial é homogênea se o lado direito for zero. Aqui temos , então o lado direito não é zero. Isso significa que a equação é não homogênea.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a solução geral da equação não homogênea, que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa .

Passo 4

Vamos resolver a equação homogênea primeiro: . A equação característica é . Resolvendo: então ou .

Passo 5

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular da forma:
onde e são constantes a serem determinados.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes correspondentes:
Para :
Para os termos constantes:

Passo 9

Portanto, a solução particular é:

Passo 10

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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