Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para classificar a equação diferencial
e encontrar sua solução. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é homogênea ou não, e então encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea ou não. Uma equação diferencial é homogênea se o lado direito for zero. Aqui temos
, então o lado direito não é zero. Isso significa que a equação é não homogênea.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a solução geral da equação não homogênea, que é a soma da solução geral da equação homogênea associada
e uma solução particular da equação completa
.
Passo 4
Vamos resolver a equação homogênea primeiro:
. A equação característica é
. Resolvendo:
então
ou
.
Passo 5
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes a serem determinados.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes correspondentes:
Para :
Para
Para os termos constantes:
Passo 9
Portanto, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é: