Dadas as seguintes equações diferenciais
determine o que se pede em cada item:
Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
determine o que se pede em cada item:
Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial dada por
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente de equações lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Pra resolver isso, vamos precisar usar séries de potências, que são uma maneira de expressar soluções de equações diferenciais quando os coeficientes não são constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências. Ou seja, vamos supor que:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituindo
na equação diferencial original
, temos:
Vamos distribuir o
:
Passo 5
Para simplificar, vamos reindexar as somas. Vamos mudar a variável de soma nas duas primeiras séries:
- Na primeira soma, deixe
:
- Na segunda soma, deixe
:
Agora, a equação fica:
Passo 6
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes
:
Passo 7
Com a relação de recorrência definida, podemos calcular os coeficientes
passo a passo, começando com valores iniciais. Geralmente, escolhemos
e
como constantes arbitrárias (por exemplo,
e
), e então calculamos os demais coeficientes usando a relação encontrada.
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é dada pela série de potências com os coeficientes determinados:
Onde cada
é calculado usando a relação de recorrência:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
pode ser expressa como uma série de potências:
Onde os coeficientes
são determinados pela relação de recorrência:
Com
e
sendo constantes arbitrárias.