Determine as derivadas parciais.
x)
x)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função
. Isso significa que vamos calcular como
muda em relação a
e a
, mantendo a outra variável constante. Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções logarítmicas e produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente denota por
. Observando a função
, vemos que ela é o produto de
e
.
Passo 3
A regra do produto diz que se
, então
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
-
. Como é tratado como constante em relação a , essa derivada é zero. -
. A derivada de em relação a é .
Passo 5
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Novamente, a função
é o produto de
e
.
Passo 7
Usando a mesma regra do produto:
-
-
-
. Como não depende de , essa derivada é zero. -
.
Passo 8
Aplicando a regra do produto:
Resposta
As derivadas parciais são: