Determine as derivadas parciais.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício que pede para determinarmos as derivadas parciais da função
. Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente ao estudo de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação em funções de múltiplas variáveis, lembrando que, ao calcular uma derivada parcial, tratamos as outras variáveis como constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante. A função
é um produto de
e
.
Lembrando que a derivada de
em relação a
é
e a derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função. Como
é constante em relação a
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Desta vez, tratamos
como uma constante. A função
novamente é um produto, mas agora
é a parte que envolve
.
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
, e aplicando a regra da cadeia, onde
, temos:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e