Dadas as seguintes matrizes
calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem duas matrizes complexas, mas a pergunta é sobre a matriz . O que precisamos calcular é o , que é a matriz adjunta de . Para isso, vamos precisar entender como fazer o conjugado de uma matriz e depois transpor ela. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a matriz adjunta . Ela é obtida fazendo o conjugado de cada elemento da matriz e depois transpondo essa matriz.
  • Conjugado: Para números complexos, o conjugado de um número é . Ou seja, mudamos o sinal da parte imaginária.
  • Transposição: Trocar as linhas pelas colunas da matriz.

Passo 3

Vamos começar calculando o conjugado de cada elemento da matriz . A matriz original é:
Aplicando o conjugado em cada elemento:
  • O conjugado de é (já que não tem parte imaginária).
  • O conjugado de é .
  • O conjugado de é .
  • O conjugado de é .
  • O conjugado de é .
  • O conjugado de é .
  • O conjugado de é .
  • O conjugado de é .
  • O conjugado de é .
Então, a matriz com os elementos conjugados fica:

Passo 4

Agora, vamos transpor a matriz conjugada . A transposição troca as linhas pelas colunas. Então:

Resposta

A matriz adjunta de é:

Exercícios relacionados

Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde é a matriz identidade.
(e) Mostre que qualquer matriz pode ser escrita como: (i) a soma de uma matriz simétrica mais uma matriz antisimétrica ; (ii) a soma de uma matriz real mais uma matriz imaginária I; (iii) a soma de uma matriz hermitiana mais uma matriz anti-hermitiana .
Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde é a matriz identidade.
(b) Mostre que se for diagonalizável, então
Isso é de fato verdade mesmo que não seja diagonalizável, mas é mais difícil provar no caso geral.
Dadas as seguintes matrizes
calcule:
Sejam e operadores lineares. O traço de um operador é a soma dos elementos diagonais de sua matriz representativa em uma dada base, ou seja, . Mostre que: