Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde é a matriz identidade.
(e) Mostre que qualquer matriz pode ser escrita como: (i) a soma de uma matriz simétrica mais uma matriz antisimétrica ; (ii) a soma de uma matriz real mais uma matriz imaginária I; (iii) a soma de uma matriz hermitiana mais uma matriz anti-hermitiana .
Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício sobre matrizes! A questão quer mostrar que qualquer matriz pode ser decomposta de três jeitos diferentes: como a soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica, como a soma de uma matriz real e uma imaginária, e como a soma de uma matriz hermitiana e uma anti-hermitiana. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como propriedades de matrizes simétricas, antissimétricas, hermitianas e anti-hermitianas. Vamos lá!
Passo 2
Parte (i):
Primeiro, vamos mostrar que qualquer matriz pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica .
O que são matrizes simétricas e antissimétricas?
Matriz Simétrica: Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, .
Matriz Antissimétrica: Uma matriz é antissimétrica se ela for igual ao negativo da sua transposta, ou seja, .
Como fazemos essa decomposição?
A ideia é pegar a matriz e dividir ela em duas partes: uma simétrica e outra antissim��trica. A fórmula para isso é:
Por que funciona?
Somando e :
Verificando as propriedades:
, então é simétrica.
, então é antissimétrica.
Passo 3
Parte (ii):
Agora, vamos mostrar que qualquer matriz pode ser escrita como a soma de uma matriz real e uma matriz imaginária .
O que são matrizes reais e imaginárias?
Matriz Real: Uma matriz cujas entradas são números reais.
Matriz Imaginária: Uma matriz cujas entradas são números imaginários puros (multiplicados por , onde ).
Como fazemos essa decomposição?
Se é uma matriz complexa, podemos separar suas partes real e imaginária:
Aqui, é a matriz conjugada de , que envolve tomar o conjugado complexo de cada entrada.
Por que funciona?
Somando e :
Verificando:
é real porque resulta em números reais.
é imaginária porque multiplica por os números reais resultantes de .
Passo 4
Parte (iii):
Por último, vamos mostrar que qualquer matriz pode ser escrita como a soma de uma matriz hermitiana e uma matriz anti-hermitiana .
O que são matrizes hermitianas e anti-hermitianas?
Matriz Hermitiana: Uma matriz é hermitiana se for igual à sua transposta conjugada, ou seja, , onde denota a transposta conjugada.
Matriz Anti-Hermitiana: Uma matriz é anti-hermitiana se for igual ao negativo da sua transposta conjugada, ou seja, .
Como fazemos essa decomposição?
Similar às partes anteriores, usamos:
Por que funciona?
Somando e :
Verificando as propriedades:
, então é hermitiana.
, então é anti-hermitiana.
Resposta
Portanto, qualquer matriz pode ser decomposta da seguinte forma:
Soma de Simétrica e Antissimétrica:
Soma de Real e Imaginária:
Soma de Hermitiana e Anti-Hermitiana:
Assim, demonstramos que qualquer matriz pode ser decomposta dessas três maneiras diferentes!