Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
onde
é a matriz identidade.
(e) Mostre que qualquer matriz
pode ser escrita como: (i) a soma de uma matriz simétrica
mais uma matriz antisimétrica
; (ii) a soma de uma matriz real
mais uma matriz imaginária I; (iii) a soma de uma matriz hermitiana
mais uma matriz anti-hermitiana
.
(e) Mostre que qualquer matriz
Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício sobre matrizes! A questão quer mostrar que qualquer matriz
pode ser decomposta de três jeitos diferentes: como a soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica, como a soma de uma matriz real e uma imaginária, e como a soma de uma matriz hermitiana e uma anti-hermitiana. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como propriedades de matrizes simétricas, antissimétricas, hermitianas e anti-hermitianas. Vamos lá!
Passo 2
Parte (i):
Primeiro, vamos mostrar que qualquer matriz
pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica
e uma antissimétrica
.
O que são matrizes simétricas e antissimétricas?
- Matriz Simétrica: Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. - Matriz Antissimétrica: Uma matriz é antissimétrica se ela for igual ao negativo da sua transposta, ou seja,
.
Como fazemos essa decomposição?
A ideia é pegar a matriz
e dividir ela em duas partes: uma simétrica e outra antissim��trica. A fórmula para isso é:
Por que funciona?
- Somando
e :
- Verificando as propriedades:
-
, então é simétrica. -
, então é antissimétrica.
-
Passo 3
Parte (ii):
Agora, vamos mostrar que qualquer matriz
pode ser escrita como a soma de uma matriz real
e uma matriz imaginária
.
O que são matrizes reais e imaginárias?
- Matriz Real: Uma matriz cujas entradas são números reais.
- Matriz Imaginária: Uma matriz cujas entradas são números imaginários puros (multiplicados por
, onde ).
Como fazemos essa decomposição?
Se
é uma matriz complexa, podemos separar suas partes real e imaginária:
Aqui,
é a matriz conjugada de
, que envolve tomar o conjugado complexo de cada entrada.
Por que funciona?
- Somando
e :
- Verificando:
-
é real porque resulta em números reais. -
é imaginária porque multiplica por os números reais resultantes de .
-
Passo 4
Parte (iii):
Por último, vamos mostrar que qualquer matriz
pode ser escrita como a soma de uma matriz hermitiana
e uma matriz anti-hermitiana
.
O que são matrizes hermitianas e anti-hermitianas?
- Matriz Hermitiana: Uma matriz é hermitiana se for igual à sua transposta conjugada, ou seja,
, onde denota a transposta conjugada. - Matriz Anti-Hermitiana: Uma matriz é anti-hermitiana se for igual ao negativo da sua transposta conjugada, ou seja,
.
Como fazemos essa decomposição?
Similar às partes anteriores, usamos:
Por que funciona?
- Somando
e :
- Verificando as propriedades:
-
, então é hermitiana. -
, então é anti-hermitiana.
-
Resposta
Portanto, qualquer matriz
pode ser decomposta da seguinte forma:
-
Soma de Simétrica e Antissimétrica:
-
Soma de Real e Imaginária:
-
Soma de Hermitiana e Anti-Hermitiana:
Assim, demonstramos que qualquer matriz pode ser decomposta dessas três maneiras diferentes!