Funções de matrizes são definidas pela expansão de Taylor, por exemplo,
e^M equiv 1+M+12! M^2+13! M^3+ldots
onde 1 é a matriz identidade.
(e) Mostre que qualquer matriz T pode ser escrita como: (i) a soma de uma matriz simétrica S mais uma matriz antisimétrica A; (ii) a soma de uma matriz real R mais uma matriz imaginária I; (iii) a soma de uma matriz hermitiana H mais uma matriz anti-hermitiana K.

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício sobre matrizes! A questão quer mostrar que qualquer matriz T pode ser decomposta de três jeitos diferentes: como a soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica, como a soma de uma matriz real e uma imaginária, e como a soma de uma matriz hermitiana e uma anti-hermitiana. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como propriedades de matrizes simétricas, antissimétricas, hermitianas e anti-hermitianas. Vamos lá!

Passo 2

Parte (i): T = S + A

Primeiro, vamos mostrar que qualquer matriz T pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica S e uma antissimétrica A.
O que são matrizes simétricas e antissimétricas?
  • Matriz Simétrica: Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, S^top = S.
  • Matriz Antissimétrica: Uma matriz é antissimétrica se ela for igual ao negativo da sua transposta, ou seja, A^top = -A.
Como fazemos essa decomposição?
A ideia é pegar a matriz T e dividir ela em duas partes: uma simétrica e outra antissim��trica. A fórmula para isso é:
S = 12 (T + T^top)
A = 12 (T - T^top)
Por que funciona?
  • Somando S e A:
S + A = 12 (T + T^top) + 12 (T - T^top) = T
  • Verificando as propriedades:
    • S^top = 12 (T^top + T) = S, então S é simétrica.
    • A^top = 12 (T^top - T) = -A, então A é antissimétrica.

Passo 3

Parte (ii): T = R + iI

Agora, vamos mostrar que qualquer matriz T pode ser escrita como a soma de uma matriz real R e uma matriz imaginária I.
O que são matrizes reais e imaginárias?
  • Matriz Real: Uma matriz cujas entradas são números reais.
  • Matriz Imaginária: Uma matriz cujas entradas são números imaginários puros (multiplicados por i, onde i = raiz-1).
Como fazemos essa decomposição?
Se T é uma matriz complexa, podemos separar suas partes real e imaginária:
R = 12 (T + T^ast)
I = 12i (T - T^ast)
Aqui, T^ast é a matriz conjugada de T, que envolve tomar o conjugado complexo de cada entrada.
Por que funciona?
  • Somando R e iI:
R + iI = 12 (T + T^ast) + i cdot 12i (T - T^ast) = T
  • Verificando:
    • R é real porque T + T^ast resulta em números reais.
    • iI é imaginária porque multiplica por i os números reais resultantes de T - T^ast.

Passo 4

Parte (iii): T = H + K

Por último, vamos mostrar que qualquer matriz T pode ser escrita como a soma de uma matriz hermitiana H e uma matriz anti-hermitiana K.
O que são matrizes hermitianas e anti-hermitianas?
  • Matriz Hermitiana: Uma matriz é hermitiana se for igual à sua transposta conjugada, ou seja, H^dag>=r = H, onde dag>=r denota a transposta conjugada.
  • Matriz Anti-Hermitiana: Uma matriz é anti-hermitiana se for igual ao negativo da sua transposta conjugada, ou seja, K^dag>=r = -K.
Como fazemos essa decomposição?
Similar às partes anteriores, usamos:
H = 12 (T + T^dag>=r)
K = 12 (T - T^dag>=r)
Por que funciona?
  • Somando H e K:
H + K = 12 (T + T^dag>=r) + 12 (T - T^dag>=r) = T
  • Verificando as propriedades:
    • H^dag>=r = 12 (T^dag>=r + T) = H, então H é hermitiana.
    • K^dag>=r = 12 (T^dag>=r - T) = -K, então K é anti-hermitiana.

Resposta

Portanto, qualquer matriz T pode ser decomposta da seguinte forma:
  1. Soma de Simétrica e Antissimétrica:
    T = S + A, onde S = 12 (T + T^top) e A = 12 (T - T^top)
  2. Soma de Real e Imaginária:
    T = R + iI, onde R = 12 (T + T^ast) e I = 12i (T - T^ast)
  3. Soma de Hermitiana e Anti-Hermitiana:
    T = H + K, onde H = 12 (T + T^dag>=r) e K = 12 (T - T^dag>=r)
Assim, demonstramos que qualquer matriz pode ser decomposta dessas três maneiras diferentes!

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