Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centróide da região delimitada pelas curvas
,
,
e
. O centróide é como o “centro de massa” da região. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integração para encontrar áreas e coordenadas do centróide.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. Temos a curva
, que é a metade superior da parábola,
que é o eixo x, e as linhas verticais
e
. Essa região está entre
e
e de cima para baixo entre a curva
e o eixo x.
Passo 3
O próximo passo é calcular a área dessa região, que vamos chamar de
. A área sob uma curva pode ser encontrada pela integral definida. Aqui, a área é dada por:
Passo 4
Vamos resolver essa integral para encontrar
:
Então, a área
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centróide,
. As fórmulas para essas coordenadas são:
Onde
,
e
.
Passo 6
Vamos calcular
:
Resolvendo a integral:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Resolvendo a integral:
Resposta
O centróide da região é aproximadamente
, ou seja,
e
.
Exercícios relacionados
Dadas as sequências
e
, com
, mostre que
e
, quando
.
No exercício 33 a escolha de
é arbitrária.
Determine para cada um dos itens do exercicio supondo sempre que
.
Determine
Calcule os limites abaixo.
Prove que :
O conjunto não é limitado superiormente.
O conjunto