Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centróide da região delimitada pelas curvas , , e . O centróide é como o “centro de massa” da região. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integração para encontrar áreas e coordenadas do centróide.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. Temos a curva , que é a metade superior da parábola, que é o eixo x, e as linhas verticais e . Essa região está entre e e de cima para baixo entre a curva e o eixo x.

Passo 3

O próximo passo é calcular a área dessa região, que vamos chamar de . A área sob uma curva pode ser encontrada pela integral definida. Aqui, a área é dada por:

Passo 4

Vamos resolver essa integral para encontrar :
Então, a área .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas do centróide, . As fórmulas para essas coordenadas são:
Onde , e .

Passo 6

Vamos calcular :
Resolvendo a integral:

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Resolvendo a integral:

Resposta

O centróide da região é aproximadamente , ou seja, e .

Exercícios relacionados

Dadas as sequências e , com , mostre que e , quando .
No exercício 33 a escolha de é arbitrária.
Determine para cada um dos itens do exercicio supondo sempre que .
Calcule os limites abaixo.
Prove que :
O conjunto não é limitado superiormente.