Decida sobre a convergência das sequências a seguir:
$(b)
;
$(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente decidir se a sequência
converge ou não. Vamos usar conceitos de limites e logaritmos pra resolver isso. Vamos precisar entender como trabalhar com potências e logaritmos para simplificar a expressão e achar o limite quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Para facilitar, vamos reescrever isso usando a base do número e e os logaritmos naturais. Lembrando que
, podemos reescrever
assim:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o expoente. Sabemos que
. Substituindo isso na expressão, temos:
Passo 4
Perceba que
é uma constante, ou seja, independente de
. Isso significa que à medida que
cresce,
sempre será igual a
, que é aproximadamente 0,3679.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é
.