Dadas as superfícies
e
, determine o fluxo através delas produzidos pelos seguintes campos vetoriais:
Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e seus respectivos o fluxos através do volume delimitados pelas superfícies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!
Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e seus respectivos o fluxos através do volume delimitados pelas superfícies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial
através de três superfícies diferentes:
,
e
. Além disso, vamos determinar o divergente desse campo e calcular o fluxo através do volume delimitado por essas superfícies. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com o divergente desse campo no volume interno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede quanto de um campo passa através de uma superfície. Matematicamente, é dado por:
Onde
é o campo vetorial e
é o vetor área da superfície.
Passo 3
Agora, vamos identificar as superfícies:
-
é uma esfera com raio . -
, é uma superfície paraboloidal restrita ao semieixo positivo. -
, é um cilindro de raio e altura .
Passo 4
Vamos calcular o fluxo através de cada superfície. Primeiramente, observamos que o campo
é um campo radial que depende apenas da distância
do ponto ao origem.
Para uma superfície fechada, o Teorema de Gauss nos diz que:
Então, se conseguirmos calcular o divergente de
, podemos usar o teorema para encontrar o fluxo através das superfícies fechadas.
Passo 5
Vamos calcular o divergente de
. Em coordenadas esféricas, onde
, o divergente é dado por:
Portanto, o divergente de
é zero em todo o espaço, exceto possivelmente na origem.
Passo 6
Como o divergente é zero, de acordo com o Teorema de Gauss, o fluxo através de uma superfície fechada dependerá apenas das possíveis singularidades dentro do volume. Como
tem uma singularidade na origem, devemos considerar se a origem está dentro do volume delimitado pelas superfícies.
Passo 7
Analisando as superfícies:
-
é uma esfera centrada na origem, então a origem está dentro dela. -
e também cercam a origem, dependendo dos parâmetros , e .
Assumindo que a origem está dentro do volume delimitado por todas as superfícies, o fluxo através dessas superfícies será equivalente ao fluxo de uma esfera infinitesimal ao redor da origem.
Passo 8
Para uma esfera infinitesimal ao redor da origem, o fluxo de
é conhecido e igual a
, devido à natureza do campo
. Portanto, o fluxo através das superfícies fechadas
,
e
será:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através das superfícies
,
e
é igual a
.
Exercícios relacionados
Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
onde
e
são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
da semiesfera , (de raio
, centrada na origem e ocupando a região do espaço para a qual
.
da semiesfera
Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
onde
e
são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
de um círculo de raio localizado no plano
(paralelo ao plano
), com centro no eixo
(isto é, centro em
;
de um círculo de raio
Seja A o campo vetorial dado por
Determine a circulação desse vetor ao redor de uma circunferência no plano
centrada na origem e raio:
.
Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
onde
e
são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
de um círculo de raio localizado no plano
(paralelo ao plano
), com centro no eixo
;
de um círculo de raio