Dadas as superfícies S1: x^2+y^2+z^2=R1^2, S2: x^2+y^2+z=R^2, z >= 0 e S3: x^2+y^2=R^2, |z| <= H, determine o fluxo através delas produzidos pelos seguintes campos vetoriais:
A=1r^2 r
Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e seus respectivos o fluxos através do volume delimitados pelas superfícies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial A = 1r^2 r através de três superfícies diferentes: S1, S2 e S3. Além disso, vamos determinar o divergente desse campo e calcular o fluxo através do volume delimitado por essas superfícies. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com o divergente desse campo no volume interno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede quanto de um campo passa através de uma superfície. Matematicamente, é dado por:
Phi = integral duplaS A cdot dS
Onde A é o campo vetorial e dS é o vetor área da superfície.

Passo 3

Agora, vamos identificar as superfícies:
  • S1: x^2+y^2+z^2=R1^2 é uma esfera com raio R1.
  • S2: x^2+y^2+z=R^2, z >= 0 é uma superfície paraboloidal restrita ao semieixo z positivo.
  • S3: x^2+y^2=R^2, |z| <= H é um cilindro de raio R e altura 2H.

Passo 4

Vamos calcular o fluxo através de cada superfície. Primeiramente, observamos que o campo A = 1r^2 r é um campo radial que depende apenas da distância r do ponto ao origem.
Para uma superfície fechada, o Teorema de Gauss nos diz que:
Phi = integral triplaV (nabla cdot A) , dV
Então, se conseguirmos calcular o divergente de A, podemos usar o teorema para encontrar o fluxo através das superfícies fechadas.

Passo 5

Vamos calcular o divergente de A. Em coordenadas esféricas, onde A = 1r^2 r, o divergente é dado por:
nabla cdot A = 1r^2 ddr( r^2 cdot 1r^2 ) = 1r^2 ddr(1) = 0
Portanto, o divergente de A é zero em todo o espaço, exceto possivelmente na origem.

Passo 6

Como o divergente é zero, de acordo com o Teorema de Gauss, o fluxo através de uma superfície fechada dependerá apenas das possíveis singularidades dentro do volume. Como A tem uma singularidade na origem, devemos considerar se a origem está dentro do volume delimitado pelas superfícies.

Passo 7

Analisando as superfícies:
  • S1 é uma esfera centrada na origem, então a origem está dentro dela.
  • S2 e S3 também cercam a origem, dependendo dos parâmetros R, R1 e H.
Assumindo que a origem está dentro do volume delimitado por todas as superfícies, o fluxo através dessas superfícies será equivalente ao fluxo de uma esfera infinitesimal ao redor da origem.

Passo 8

Para uma esfera infinitesimal ao redor da origem, o fluxo de A é conhecido e igual a 4pi, devido à natureza do campo 1r^2 r. Portanto, o fluxo através das superfícies fechadas S1, S2 e S3 será:
Phi = 4pi

Resposta

O fluxo do campo vetorial A = 1r^2 r através das superfícies S1, S2 e S3 é igual a 4pi.

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