Dadas as superfícies e , determine o fluxo através delas produzidos pelos seguintes campos vetoriais:

Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e seus respectivos o fluxos através do volume delimitados pelas superfícies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial através de três superfícies diferentes: , e . Além disso, vamos determinar o divergente desse campo e calcular o fluxo através do volume delimitado por essas superfícies. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com o divergente desse campo no volume interno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede quanto de um campo passa através de uma superfície. Matematicamente, é dado por:
Onde é o campo vetorial e é o vetor área da superfície.

Passo 3

Agora, vamos identificar as superfícies:
  • é uma esfera com raio .
  • , é uma superfície paraboloidal restrita ao semieixo positivo.
  • , é um cilindro de raio e altura .

Passo 4

Vamos calcular o fluxo através de cada superfície. Primeiramente, observamos que o campo é um campo radial que depende apenas da distância do ponto ao origem.
Para uma superfície fechada, o Teorema de Gauss nos diz que:
Então, se conseguirmos calcular o divergente de , podemos usar o teorema para encontrar o fluxo através das superfícies fechadas.

Passo 5

Vamos calcular o divergente de . Em coordenadas esféricas, onde , o divergente é dado por:
Portanto, o divergente de é zero em todo o espaço, exceto possivelmente na origem.

Passo 6

Como o divergente é zero, de acordo com o Teorema de Gauss, o fluxo através de uma superfície fechada dependerá apenas das possíveis singularidades dentro do volume. Como tem uma singularidade na origem, devemos considerar se a origem está dentro do volume delimitado pelas superfícies.

Passo 7

Analisando as superfícies:
  • é uma esfera centrada na origem, então a origem está dentro dela.
  • e também cercam a origem, dependendo dos parâmetros , e .
Assumindo que a origem está dentro do volume delimitado por todas as superfícies, o fluxo através dessas superfícies será equivalente ao fluxo de uma esfera infinitesimal ao redor da origem.

Passo 8

Para uma esfera infinitesimal ao redor da origem, o fluxo de é conhecido e igual a , devido à natureza do campo . Portanto, o fluxo através das superfícies fechadas , e será:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através das superfícies , e é igual a .

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