Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
onde e são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
da semiesfera , (de raio , centrada na origem e ocupando a região do espaço para a qual .
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre corrente elétrica em uma região do espaço. A questão nos apresenta a densidade de corrente em coordenadas cilíndricas e pede para determinar o fluxo dessa corrente através de uma semiesfera de raio centrada na origem e na região onde . Para resolver, vamos precisar entender conceitos de densidade de corrente, coordenadas cilíndricas e o cálculo de fluxo por meio de integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade de corrente dada:
Aqui, rho é a coordenada radial em sistema cilíndrico e z indica que a corrente está na direção positiva do eixo z.
Passo 3
O fluxo de corrente através de uma superfície S é dado por:
Phi = integral duplaS J cdot dS
Isso significa que precisamos calcular a integral da componente da densidade de corrente na direção normal à superfície sobre a semiesfera.
Passo 4
Para a semiesfera r = R, z > 0, em coordenadas esféricas, o vetor área diferencial dS tem direção radial r e módulo R^2 sintheta , dtheta , dphi, onde theta é o ângulo polar.
Portanto,
dS = r , R^2 sintheta , dtheta , dphi
Passo 5
Precisamos expressar a densidade de corrente J em coordenadas esféricas para calcular o produto escalar J cdot dS. Sabemos que J = Jz z e em coordenadas esféricas:
z = costheta , r - sintheta , theta
Portanto,
J cdot r = Jz costheta
Passo 6
Dada a densidade de corrente para rho <= R, onde rho = r sintheta, temos: