Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
onde e são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
da semiesfera , (de raio , centrada na origem e ocupando a região do espaço para a qual .

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre corrente elétrica em uma região do espaço. A questão nos apresenta a densidade de corrente em coordenadas cilíndricas e pede para determinar o fluxo dessa corrente através de uma semiesfera de raio centrada na origem e na região onde . Para resolver, vamos precisar entender conceitos de densidade de corrente, coordenadas cilíndricas e o cálculo de fluxo por meio de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade de corrente dada:
Aqui, é a coordenada radial em sistema cilíndrico e indica que a corrente está na direção positiva do eixo .

Passo 3

O fluxo de corrente através de uma superfície é dado por:
Isso significa que precisamos calcular a integral da componente da densidade de corrente na direção normal à superfície sobre a semiesfera.

Passo 4

Para a semiesfera , , em coordenadas esféricas, o vetor área diferencial tem direção radial e módulo , onde é o ângulo polar.
Portanto,

Passo 5

Precisamos expressar a densidade de corrente em coordenadas esféricas para calcular o produto escalar . Sabemos que e em coordenadas esféricas:
Portanto,

Passo 6

Dada a densidade de corrente para , onde , temos:

Passo 7

Substituindo na expressão do fluxo:
Substituindo :

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral sobre e . Os limites são de a (porque ) e de a .
Integrando em :

Passo 9

Integramos em :

Resposta

Portanto, o fluxo da corrente através da semiesfera é:

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Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
onde e são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
de um círculo de raio localizado no plano (paralelo ao plano ), com centro no eixo (isto é, centro em ;
Um objeto de que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com . O objeto é deslocado horizontalmente a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de na direção da posição de equilíbrio. Determine a amplitude do movimento.
Dadas as superfícies e , determine o fluxo através delas produzidos pelos seguintes campos vetoriais:

Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e seus respectivos o fluxos através do volume delimitados pelas superfícies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!
Seja A o campo vetorial dado por
Determine a circulação desse vetor ao redor de uma circunferência no plano centrada na origem e raio: .