Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
J=z J0 R / rho, & para rho <= R 0, & para rho>R
onde rho e varphi são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
da semiesfera r=R, z>0, (de raio R, centrada na origem e ocupando a região do espaço para a qual z>0).

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre corrente elétrica em uma região do espaço. A questão nos apresenta a densidade de corrente J em coordenadas cilíndricas e pede para determinar o fluxo dessa corrente através de uma semiesfera de raio R centrada na origem e na região onde z > 0. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de densidade de corrente, coordenadas cilíndricas e o cálculo de fluxo por meio de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade de corrente dada:
J = z J0 dfracRrho, & para rho <= R 0, & para rho > R
Aqui, rho é a coordenada radial em sistema cilíndrico e z indica que a corrente está na direção positiva do eixo z.

Passo 3

O fluxo de corrente através de uma superfície S é dado por:
Phi = integral duplaS J cdot dS
Isso significa que precisamos calcular a integral da componente da densidade de corrente na direção normal à superfície sobre a semiesfera.

Passo 4

Para a semiesfera r = R, z > 0, em coordenadas esféricas, o vetor área diferencial dS tem direção radial r e módulo R^2 sintheta , dtheta , dphi, onde theta é o ângulo polar.
Portanto,
dS = r , R^2 sintheta , dtheta , dphi

Passo 5

Precisamos expressar a densidade de corrente J em coordenadas esféricas para calcular o produto escalar J cdot dS. Sabemos que J = Jz z e em coordenadas esféricas:
z = costheta , r - sintheta , theta
Portanto,
J cdot r = Jz costheta

Passo 6

Dada a densidade de corrente para rho <= R, onde rho = r sintheta, temos:
Jz = J0 dfracRrho = J0 dfracRR sintheta = dfracJ0sintheta

Passo 7

Substituindo Jz na expressão do fluxo:
Phi = integral duplaS J cdot dS = integral duplaS Jz costheta , R^2 sintheta , dtheta , dphi
Substituindo Jz:
Phi = integral duplaS dfracJ0sintheta costheta , R^2 sintheta , dtheta , dphi = J0 R^2 integral duplaS costheta , dtheta , dphi

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral sobre theta e phi. Os limites são theta de 0 a pi/2 (porque z > 0) e phi de 0 a 2pi.
Phi = J0 R^2 integral0^2pi dphi integral0^pi/2 costheta , dtheta
Integrando em theta:
integral0^pi/2 costheta , dtheta = sintheta |0^pi/2 = 1 - 0 = 1

Passo 9

Integramos em phi:
integral0^2pi dphi = 2pi

Resposta

Portanto, o fluxo da corrente através da semiesfera é:
Phi = J0 R^2 times 2pi times 1 = 2pi J0 R^2

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