Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
onde e são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
da semiesfera , (de raio , centrada na origem e ocupando a região do espaço para a qual .
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre corrente elétrica em uma região do espaço. A questão nos apresenta a densidade de corrente em coordenadas cilíndricas e pede para determinar o fluxo dessa corrente através de uma semiesfera de raio centrada na origem e na região onde . Para resolver, vamos precisar entender conceitos de densidade de corrente, coordenadas cilíndricas e o cálculo de fluxo por meio de integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade de corrente dada:
Aqui, é a coordenada radial em sistema cilíndrico e indica que a corrente está na direção positiva do eixo .
Passo 3
O fluxo de corrente através de uma superfície é dado por:
Isso significa que precisamos calcular a integral da componente da densidade de corrente na direção normal à superfície sobre a semiesfera.
Passo 4
Para a semiesfera , , em coordenadas esféricas, o vetor área diferencial tem direção radial e módulo , onde é o ângulo polar.
Portanto,
Passo 5
Precisamos expressar a densidade de corrente em coordenadas esféricas para calcular o produto escalar . Sabemos que e em coordenadas esféricas:
Portanto,
Passo 6
Dada a densidade de corrente para , onde , temos:
Passo 7
Substituindo na expressão do fluxo:
Substituindo :
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral sobre e . Os limites são de a (porque ) e de a .
Integrando em :
Passo 9
Integramos em :
Resposta
Portanto, o fluxo da corrente através da semiesfera é: