Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
onde e são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
de um círculo de raio localizado no plano (paralelo ao plano ), com centro no eixo (isto é, centro em ;

Passo 1

O enunciado nos apresenta uma densidade de corrente elétrica, , em coordenadas cilíndricas. Precisamos determinar o fluxo dessa corrente através de um círculo de raio localizado no plano , centralizado no eixo . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial e teoria de correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de corrente elétrica através de uma superfície é dado pela integral da densidade de corrente sobre essa superfície:
Aqui, representa o fluxo de corrente, é a densidade de corrente, e é o vetor área diferencial da superfície .

Passo 3

A superfície considerada é um círculo de raio no plano . Como esse círculo está paralelo ao plano e centralizado no eixo , o vetor área aponta na direção do eixo . Portanto, podemos escrever:
Onde é o vetor unitário na direção , e é a área diferencial do círculo.

Passo 4

A densidade de corrente fornecida é:
Como o raio do círculo é menor que ( ), para todas as posições dentro do círculo, . Portanto, a densidade de corrente nessa região simplifica para:

Passo 5

Substituindo e na expressão do fluxo, temos:
Como estamos em coordenadas cilíndricas, a área diferencial em coordenadas polares é . Portanto:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Resposta

O fluxo da corrente através do círculo é:

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Um objeto de que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com . O objeto é deslocado horizontalmente a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de na direção da posição de equilíbrio. Determine a amplitude do movimento.
Seja A o campo vetorial dado por
Determine a circulação desse vetor ao redor de uma circunferência no plano centrada na origem e raio: ;
Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
onde e são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
da semiesfera , (de raio , centrada na origem e ocupando a região do espaço para a qual .
Dadas as superfícies e , determine o fluxo através delas produzidos pelos seguintes campos vetoriais:

Para esses mesmos campos acima, determine os seus divergentes e seus respectivos o fluxos através do volume delimitados pelas superfícies dadas. Você deve encontrar os mesmos resultados!