Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
J=z J0 R / rho, & para rho <= R 0, & para rho>R
onde rho e varphi são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
de um círculo de raio a localizado no plano z=z0 (paralelo ao plano x y ), com centro no eixo z (isto é, centro em (0,0, z0));

Passo 1

O enunciado nos apresenta uma densidade de corrente elétrica, J, em coordenadas cilíndricas. Precisamos determinar o fluxo dessa corrente através de um círculo de raio a < R localizado no plano z = z0, centralizado no eixo z. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial e teoria de correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de corrente elétrica através de uma superfície S é dado pela integral da densidade de corrente sobre essa superfície:
Phi = integralS J cdot dS
Aqui, Phi representa o fluxo de corrente, J é a densidade de corrente, e dS é o vetor área diferencial da superfície S.

Passo 3

A superfície considerada é um círculo de raio a no plano z = z0. Como esse círculo está paralelo ao plano xy e centralizado no eixo z, o vetor área dS aponta na direção do eixo z. Portanto, podemos escrever:
dS = z , dS
Onde z é o vetor unitário na direção z, e dS é a área diferencial do círculo.

Passo 4

A densidade de corrente fornecida é:
J = z J0 dfracRrho, & para rho <= R 0, & para rho > R
Como o raio a do círculo é menor que R ( a < R), para todas as posições dentro do círculo, rho <= a < R. Portanto, a densidade de corrente nessa região simplifica para:
J = z ( J0 dfracRrho )

Passo 5

Substituindo J e dS na expressão do fluxo, temos:
Phi = integralS J cdot dS = integralS J0 dfracRrho cdot z cdot z , dS = J0 R integralS dfrac1rho , dS
Como estamos em coordenadas cilíndricas, a área diferencial dS em coordenadas polares é 2pi rho , drho. Portanto:
Phi = J0 R integral0^a dfrac1rho cdot 2pi rho , drho

Passo 6

Simplificando a expressão:
Phi = J0 R cdot 2pi integral0^a drho = 2pi J0 R [ rho ]0^a = 2pi J0 R a

Resposta

O fluxo da corrente através do círculo é:
Phi = 2pi J0 R a

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