Uma região do espaço é percorrida por corrente elétrica cuja densidade é dada por
onde e são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
de um círculo de raio localizado no plano (paralelo ao plano ), com centro no eixo (isto é, centro em ;
Passo 1
O enunciado nos apresenta uma densidade de corrente elétrica, , em coordenadas cilíndricas. Precisamos determinar o fluxo dessa corrente através de um círculo de raio localizado no plano , centralizado no eixo . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial e teoria de correntes elétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de corrente elétrica através de uma superfície é dado pela integral da densidade de corrente sobre essa superfície:
Aqui, representa o fluxo de corrente, é a densidade de corrente, e é o vetor área diferencial da superfície .
Passo 3
A superfície considerada é um círculo de raio no plano . Como esse círculo está paralelo ao plano e centralizado no eixo , o vetor área aponta na direção do eixo . Portanto, podemos escrever:
Onde é o vetor unitário na direção , e é a área diferencial do círculo.
Passo 4
A densidade de corrente fornecida é:
Como o raio a do círculo é menor que R (a < R), para todas as posições dentro do círculo, rho <= a < R. Portanto, a densidade de corrente nessa região simplifica para:
J = z ( J0 dfracRrho )
Passo 5
Substituindo J e dS na expressão do fluxo, temos:
Phi = integralS J cdot dS = integralS J0 dfracRrho cdot z cdot z , dS = J0 R integralS dfrac1rho , dS
Como estamos em coordenadas cilíndricas, a área diferencial dS em coordenadas polares é 2pi rho , drho. Portanto: