Seja A o campo vetorial dado por
Determine a circulação desse vetor ao redor de uma circunferência no plano
centrada na origem e raio:
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
definido de duas maneiras diferentes dependendo da distância
do ponto até a origem. O exercício pede para calcular a circulação desse campo ao redor de uma circunferência no plano
com raio
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como integração de linha e coordenadas polares, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é circulação. Circulação é basicamente a integral de linha do campo vetorial ao longo de um caminho fechado. No nosso caso, o caminho é uma circunferência de raio
maior que
.
Passo 3
Vamos escrever a expressão para a circulação:
Aqui,
é o elemento de comprimento ao longo da circunferência. Como estamos em coordenadas polares,
pode ser expresso como:
Passo 4
Agora, vamos substituir o campo vetorial
na região
:
Portanto, o produto escalar
fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão ao longo da circunferência completa, ou seja, de
a
:
Passo 6
Integrando
de 0 a
, temos:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A circulação do campo vetorial
ao redor da circunferência é
.