Seja A o campo vetorial dado por
Determine a circulação desse vetor ao redor de uma circunferência no plano centrada na origem e raio: .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um campo vetorial definido de duas maneiras diferentes dependendo da distância do ponto até a origem. O exercício pede para calcular a circulação desse campo ao redor de uma circunferência no plano com raio . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como integração de linha e coordenadas polares, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é circulação. Circulação é basicamente a integral de linha do campo vetorial ao longo de um caminho fechado. No nosso caso, o caminho é uma circunferência de raio maior que .

Passo 3

Vamos escrever a expressão para a circulação:
çã
Aqui, é o elemento de comprimento ao longo da circunferência. Como estamos em coordenadas polares, pode ser expresso como:

Passo 4

Agora, vamos substituir o campo vetorial na região :
Portanto, o produto escalar fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão ao longo da circunferência completa, ou seja, de a :
çã

Passo 6

Integrando de 0 a , temos:
Então, substituindo de volta:
çã

Resposta

A circulação do campo vetorial ao redor da circunferência é .

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onde e são elementos de coordenadas cilíndricas. Determine o fluxo desta corrente através:
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