Seja A o campo vetorial dado por
A= rho varphi, & rho <= R R^2rho varphi, & rho>R
Determine a circulação desse vetor ao redor de uma circunferência no plano x y centrada na origem e raio: rho>R.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um campo vetorial definido de duas maneiras diferentes dependendo da distância do ponto até a origem. O exercício pede para calcular a circulação desse campo ao redor de uma circunferência no plano com raio . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como integração de linha e coordenadas polares, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é circulação. Circulação é basicamente a integral de linha do campo vetorial ao longo de um caminho fechado. No nosso caso, o caminho é uma circunferência de raio maior que .

Passo 3

Vamos escrever a expressão para a circulação:
Circulação = oint A cdot dl çã
Aqui, dl = rho , dvarphi , varphi é o elemento de comprimento ao longo da circunferência. Como estamos em coordenadas polares, pode ser expresso como:

Passo 4

Agora, vamos substituir o campo vetorial A = R^2rho varphi na região A cdot dl = ( R^2rho varphi ) cdot ( rho , dvarphi , varphi ) = R^2 , dvarphi :
Portanto, o produto escalar fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão ao longo da circunferência completa, ou seja, de Circulação = oint A cdot dl = integral0^2pi R^2 , dvarphi = R^2 integral0^2pi dvarphi a :
çã

Passo 6

Integrando integral0^2pi dvarphi = 2pi de 0 a Circulação = R^2 times 2pi = 2pi R^2 , temos:
Então, substituindo de volta:
çã

Resposta

A circulação do campo vetorial ao redor da circunferência é .

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