Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a interseção entre a superfície
e o plano
. A superfície é definida por
, que é um paraboloide, e o plano é
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como encontrar onde duas superfícies se encontram.
Passo 2
Primeiro, como queremos achar a interseção
, precisamos igualar as duas equações que definem
e
. Isso significa que vamos substituir
na equação do paraboloide pela constante 4 do plano.
Passo 3
Assim, temos:
Igualando as duas:
Essa equação representa uma circunferência no plano
, já que
é constante.
Passo 4
A equação
descreve uma circunferência com raio
. Sabemos que a forma geral da equação de uma circunferência centrada na origem é
. Comparando, vemos que
, então
.
Passo 5
Portanto, a interseção
é uma circunferência de raio 2 situada no plano
.
Resposta
A interseção
é a circunferência
no plano
.
Exercícios relacionados
Mostre que o hiperbolóide de duas folhas
nāo tem intersecçāo com o plano
.
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Dado o conjunto
determine o subespaço gerado por
.
Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre: a projeção de
no plano
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