Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: ; ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a interseção entre a superfície e o plano . A superfície é definida por , que é um paraboloide, e o plano é . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como encontrar onde duas superfícies se encontram.

Passo 2

Primeiro, como queremos achar a interseção , precisamos igualar as duas equações que definem e . Isso significa que vamos substituir na equação do paraboloide pela constante 4 do plano.

Passo 3

Assim, temos:
Igualando as duas:
Essa equação representa uma circunferência no plano , já que é constante.

Passo 4

A equação descreve uma circunferência com raio . Sabemos que a forma geral da equação de uma circunferência centrada na origem é . Comparando, vemos que , então .

Passo 5

Portanto, a interseção é uma circunferência de raio 2 situada no plano .

Resposta

A interseção é a circunferência no plano .

Exercícios relacionados

Mostre que o hiperbolóide de duas folhas
nāo tem intersecçāo com o plano .
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Dado o conjunto
determine o subespaço gerado por .
Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: a projeção de no plano ; ;