Dadas as superfícies S e os planos Pi abaixo, encontre: S cap Pi; S: z=x^2+y^2 ; Pi: z=4;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a interseção entre a superfície e o plano . A superfície é definida por , que é um paraboloide, e o plano é . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como encontrar onde duas superfícies se encontram.

Passo 2

Primeiro, como queremos achar a interseção , precisamos igualar as duas equações que definem e . Isso significa que vamos substituir na equação do paraboloide pela constante 4 do plano.

Passo 3

Assim, temos:
z = x^2 + y^2 e z = 4
Igualando as duas:
4 = x^2 + y^2
Essa equação representa uma circunferência no plano , já que é constante.

Passo 4

A equação descreve uma circunferência com raio . Sabemos que a forma geral da equação de uma circunferência centrada na origem é . Comparando, vemos que , então .

Passo 5

Portanto, a interseção é uma circunferência de raio 2 situada no plano .

Resposta

A interseção é a circunferência no plano .

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