Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar que tipo de superfície está representada pela equação
e reescrevê-la na forma canônica. Para isso, vamos usar o conteúdo de superfícies quadráticas e o método de completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem
e
. Isso ajuda a reescrever a equação de uma forma mais simples.
Para o termo em
:
Temos
. Fatorando o 2:
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Então:
Passo 4
Fazendo o mesmo para o termo em
:
Temos
. Fatorando o -2:
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Então:
Passo 5
Substituindo essas expressões de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 6
Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
Passo 7
Para facilitar, vamos dividir toda a equação por 4 para deixar igual a 1:
Simplificando as frações:
Passo 8
Agora, a equação está na forma canônica:
Resposta
A superfície é um hiperboloide de uma folha, e sua forma canônica é
Exercícios relacionados
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Mostre que o hiperbolóide de duas folhas
nāo tem intersecçāo com o plano
.
Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre:
;
;