Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar que tipo de superfície está representada pela equação e reescrevê-la na forma canônica. Para isso, vamos usar o conteúdo de superfícies quadráticas e o método de completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos semelhantes:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem e . Isso ajuda a reescrever a equação de uma forma mais simples.
Para o termo em :
Temos . Fatorando o 2:
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Então:

Passo 4

Fazendo o mesmo para o termo em :
Temos . Fatorando o -2:
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Então:

Passo 5

Substituindo essas expressões de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:

Passo 6

Agora, vamos isolar os termos quadráticos:

Passo 7

Para facilitar, vamos dividir toda a equação por 4 para deixar igual a 1:
Simplificando as frações:

Passo 8

Agora, a equação está na forma canônica:

Resposta

A superfície é um hiperboloide de uma folha, e sua forma canônica é

Exercícios relacionados

Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Mostre que o hiperbolóide de duas folhas
nāo tem intersecçāo com o plano .
Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: ; ;