Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica: x^2+2 y^2-2 z^2-4 y+8 z-10=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar que tipo de superfície está representada pela equação e reescrevê-la na forma canônica. Para isso, vamos usar o conteúdo de superfícies quadráticas e o método de completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos semelhantes:
x^2 + 2 y^2 - 4 y - 2 z^2 + 8 z - 10 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem 2(y^2 - 2 y) e y^2 - 2 y = (y - 1)^2 - 1 . Isso ajuda a reescrever a equação de uma forma mais simples.
Para o termo em 2(y^2 - 2 y) = 2[(y - 1)^2 - 1] = 2(y - 1)^2 - 2 :
Temos . Fatorando o 2:
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Então:

Passo 4

Fazendo o mesmo para o termo em -2(z^2 - 4 z) :
Temos z^2 - 4 z = (z - 2)^2 - 4 . Fatorando o -2:
-2(z^2 - 4 z) = -2[(z - 2)^2 - 4] = -2(z - 2)^2 + 8
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Então:

Passo 5

Substituindo essas expressões de volta na equação original:
x^2 + 2(y - 1)^2 - 2 - 2(z - 2)^2 + 8 - 10 = 0
Simplificando os termos constantes:
x^2 + 2(y - 1)^2 - 2(z - 2)^2 - 4 = 0

Passo 6

Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
x^2 + 2(y - 1)^2 - 2(z - 2)^2 = 4

Passo 7

Para facilitar, vamos dividir toda a equação por 4 para deixar igual a 1:
x^24 + 2(y - 1)^24 - 2(z - 2)^24 = 1
Simplificando as frações:
x^24 + (y - 1)^22 - (z - 2)^22 = 1

Passo 8

Agora, a equação está na forma canônica:
(x - 0)^24 + (y - 1)^22 - (z - 2)^22 = 1

Resposta

A superfície é um hiperboloide de uma folha, e sua forma canônica é
x^24 + (y - 1)^22 - (z - 2)^22 = 1

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