Mostre que o hiperbolóide de duas folhas
nāo tem intersecçāo com o plano
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de mostrar que o hiperbolóide de duas folhas dado por
não intersecta o plano
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies e planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa que duas superfícies se intersectam. Basicamente, isso quer dizer que existe pelo menos um ponto que satisfaz as equações de ambas as superfícies simultaneamente. No nosso caso, queremos ver se existe algum ponto que está tanto no hiperbolóide quanto no plano
.
Passo 3
O plano
é definido por todos os pontos onde a coordenada
é igual a zero, ou seja,
. Para verificar a interseção, vamos substituir
na equação do hiperbolóide e ver se conseguimos encontrar valores para
e
que satisfaçam a equação.
Passo 4
Substituindo
na equação do hiperbolóide, temos:
Simplificando, isso resulta em:
Passo 5
Agora, observe que os termos
e
são sempre positivos ou zero, já que qualquer número ao quadrado é não negativo. Portanto, a soma
será sempre menor ou igual a zero.
Passo 6
Por outro lado, o lado direito da equação é
, que é um número positivo. Assim, temos uma situação onde uma expressão que é sempre menor ou igual a zero está igualada a um número positivo. Isso é impossível, ou seja, não existe nenhum par
que satisfaça essa equação.
Resposta
Portanto, concluímos que o hiperbolóide de duas folhas
não tem interseção com o plano
.
Exercícios relacionados
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Identifique as superfícies dadas pelas equações abaixo e reescreva estas na sua forma canônica:
Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre:
;
;
Dado o conjunto
determine o subespaço gerado por
.