Mostre que o hiperbolóide de duas folhas
x^2a^2-y^2b^2-z^2c^2=1
nāo tem intersecçāo com o plano y z.

Passo 1

Vamos resolver o problema de mostrar que o hiperbolóide de duas folhas dado por
x^2a^2 - y^2b^2 - z^2c^2 = 1
não intersecta o plano yz. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies e planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que duas superfícies se intersectam. Basicamente, isso quer dizer que existe pelo menos um ponto que satisfaz as equações de ambas as superfícies simultaneamente. No nosso caso, queremos ver se existe algum ponto que está tanto no hiperbolóide quanto no plano yz.

Passo 3

O plano yz é definido por todos os pontos onde a coordenada x é igual a zero, ou seja, x = 0. Para verificar a interseção, vamos substituir x = 0 na equação do hiperbolóide e ver se conseguimos encontrar valores para y e z que satisfaçam a equação.

Passo 4

Substituindo x = 0 na equação do hiperbolóide, temos:
0^2a^2 - y^2b^2 - z^2c^2 = 1
Simplificando, isso resulta em:
- y^2b^2 - z^2c^2 = 1

Passo 5

Agora, observe que os termos y^2b^2 e z^2c^2 são sempre positivos ou zero, já que qualquer número ao quadrado é não negativo. Portanto, a soma - y^2b^2 - z^2c^2 será sempre menor ou igual a zero.

Passo 6

Por outro lado, o lado direito da equação é 1, que é um número positivo. Assim, temos uma situação onde uma expressão que é sempre menor ou igual a zero está igualada a um número positivo. Isso é impossível, ou seja, não existe nenhum par (y, z) que satisfaça essa equação.

Resposta

Portanto, concluímos que o hiperbolóide de duas folhas
x^2a^2 - y^2b^2 - z^2c^2 = 1
não tem interseção com o plano yz.

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