Se existirem, determine todas as formas das matrizes erl, e tais que:
(a) Tem posto 1
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos todas as formas possíveis de matrizes que tenham posto 1. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre posto de uma matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de linhas ou colunas linearmente independentes. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como caracterizar matrizes de posto 1 e usar propriedades de matrizes de baixa classificação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de posto 1 significa que todas as suas colunas são múltiplos umas das outras. Ou seja, uma coluna pode ser obtida multiplicando a outra por um escalar. Isso acontece porque, com posto 1, existe apenas uma direção “única” na qual as colunas se alinham.
Passo 3
Para formalizar isso, podemos representar uma matriz de tamanho e posto 1 da seguinte maneira:
Aqui, o primeiro vetor coluna e o vetor linha são quaisquer vetores não nulos. Quando multiplicamos esses vetores, obtemos uma matriz onde a segunda coluna é um múltiplo da primeira.
Passo 4
Vamos multiplicar os vetores:
A = a cdot d & a cdot e b cdot d & b cdot e c cdot d & c cdot e
Observe que cada elemento da segunda coluna () é igual ao correspondente elemento da primeira coluna () multiplicado por , assumindo . Isso confirma que as colunas são múltiplos umas das outras, garantindo o posto 1.
Passo 5
Portanto, todas as matrizes a b c de posto 1 podem ser expressas como o produto de um vetor coluna d & e e um vetor linha A = u v = a d & a e b d & b e c d & c e :
Onde e são vetores não nulos.
Resposta
Todas as matrizes A = a d & a e b d & b e c d & c e , de posto 1 têm a forma a b c , onde