Verifique se as transformações abaixo são lineares:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se uma transformação
, definida por
, é linear. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma transformação linear e aplicar esses conceitos à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e escalar
, as seguintes condições forem verdadeiras:
-
(adição) -
(homogeneidade)
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: a adição. Suponha que temos dois vetores
e
em
. Aplicando a transformação
à soma desses vetores:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Observamos que:
Então, a primeira condição da linearidade é satisfeita.
Passo 6
Agora, vamos verificar a segunda condição: a homogeneidade. Seja
um escalar e
um vetor em
. Aplicando
a
:
Passo 7
Por outro lado, calculando
:
Passo 8
Vemos que:
Portanto, a segunda condição da linearidade também é satisfeita.
Resposta
Como ambas as condições de adição e homogeneidade são atendidas, a transformação
é linear.
Exercícios relacionados
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
.
Dadas as transformações lineares
, assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas:
sobrejetiva
sobrejetiva.
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
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