Verifique se as transformações abaixo são lineares: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se uma transformação , definida por , é linear. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma transformação linear e aplicar esses conceitos à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e escalar , as seguintes condições forem verdadeiras:
  1. (adição)
  2. (homogeneidade)

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: a adição. Suponha que temos dois vetores e em . Aplicando a transformação à soma desses vetores:

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

Observamos que:
Então, a primeira condição da linearidade é satisfeita.

Passo 6

Agora, vamos verificar a segunda condição: a homogeneidade. Seja um escalar e um vetor em . Aplicando a :

Passo 7

Por outro lado, calculando :

Passo 8

Vemos que:
Portanto, a segunda condição da linearidade também é satisfeita.

Resposta

Como ambas as condições de adição e homogeneidade são atendidas, a transformação é linear.

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