Verifique se as transformações abaixo são lineares: F: R^2 C([0,1]), F(x, y)=x e^t+y e^2 t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se uma transformação , definida por , é linear. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma transformação linear e aplicar esses conceitos à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e escalar , as seguintes condições forem verdadeiras:
  1. (adição)
  2. (homogeneidade)

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: a adição. Suponha que temos dois vetores F((x1, y1) + (x2, y2)) = F(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2) e^t + (y1 + y2) e^2 t e em . Aplicando a transformação à soma desses vetores:

Passo 4

Agora, vamos calcular F(x1, y1) + F(x2, y2) = x1 e^t + y1 e^2 t + x2 e^t + y2 e^2 t = (x1 + x2) e^t + (y1 + y2) e^2 t :

Passo 5

Observamos que:
F((x1, y1) + (x2, y2)) = F(x1, y1) + F(x2, y2)
Então, a primeira condição da linearidade é satisfeita.

Passo 6

Agora, vamos verificar a segunda condição: a homogeneidade. Seja F(c x, c y) = (c x) e^t + (c y) e^2 t = c (x e^t + y e^2 t) um escalar e um vetor em . Aplicando a :

Passo 7

Por outro lado, calculando c F(x, y) = c (x e^t + y e^2 t) = c x e^t + c y e^2 t :

Passo 8

Vemos que:
F(c x, c y) = c F(x, y)
Portanto, a segunda condição da linearidade também é satisfeita.

Resposta

Como ambas as condições de adição e homogeneidade são atendidas, a transformação é linear.

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