Dadas as transformações lineares
, assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas:
sobrejetiva
sobrejetiva.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas transformações lineares:
e
. A afirmação para avaliar é: “Se
é sobrejetiva, então
é sobrejetiva.” Vamos precisar entender o que significa uma transformação ser sobrejetiva e como composições de transformações funcionam.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma transformação linear
é sobrejetiva se para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Ou seja, a função “cobre” todo o espaço de chegada.
Passo 3
Agora, consideremos a composição das transformações
. A transformação
é definida por
para todo
em
. A afirmação diz que se
é sobrejetiva, então
também deve ser sobrejetiva.
Passo 4
Para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos analisar um exemplo. Suponha que
não seja sobrejetiva, ou seja, a imagem de
não cobre todo o espaço
. Mesmo assim, é possível que
seja sobrejetiva se
mapeia a imagem de
de forma a cobrir todo
.
Passo 5
Porém, a afirmação generaliza que se
é sobrejetiva, então necessariamente
deve ser sobrejetiva em todo o espaço
. Isso não é necessariamente verdade, pois
pode estar cobrindo apenas a imagem de
e não todo
.
Passo 6
Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira. Existe a possibilidade de
ser sobrejetiva mesmo que
não seja sobrejetiva.
Resposta
(F) A afirmação é falsa.
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Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles.
, onde
.
Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de
.
(b) e
;
(b)
Seja
a base canônica de
. Se
é dada por
Encontre
, em que
é base de
.
Sejam
transformações lineares dadas por
Encontre uma base para os núcleos de
e
.