Dadas as transformações lineares , assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas: sobrejetiva sobrejetiva.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas transformações lineares: e . A afirmação para avaliar é: “Se é sobrejetiva, então é sobrejetiva.” Vamos precisar entender o que significa uma transformação ser sobrejetiva e como composições de transformações funcionam.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma transformação linear é sobrejetiva se para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Ou seja, a função “cobre” todo o espaço de chegada.

Passo 3

Agora, consideremos a composição das transformações . A transformação é definida por para todo em . A afirmação diz que se é sobrejetiva, então também deve ser sobrejetiva.

Passo 4

Para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos analisar um exemplo. Suponha que não seja sobrejetiva, ou seja, a imagem de não cobre todo o espaço . Mesmo assim, é possível que seja sobrejetiva se mapeia a imagem de de forma a cobrir todo .

Passo 5

Porém, a afirmação generaliza que se é sobrejetiva, então necessariamente deve ser sobrejetiva em todo o espaço . Isso não é necessariamente verdade, pois pode estar cobrindo apenas a imagem de e não todo .

Passo 6

Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira. Existe a possibilidade de ser sobrejetiva mesmo que não seja sobrejetiva.

Resposta

(F) A afirmação é falsa.

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Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles. , onde .
Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de .
(b) e ;
Seja a base canônica de . Se é dada por
Encontre , em que é base de .
Sejam transformações lineares dadas por
Encontre uma base para os núcleos de e .