Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar a matriz de representação da transformação linear considerando duas bases específicas. A transformação vai de matrizes para polinômios de grau até 3. Vamos usar a base canônica para as matrizes e uma base dada para os polinômios. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação nas bases e expressar os resultados na base desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear e como representá-la como uma matriz. Transformação linear é uma função que respeita a adição e a multiplicação por escalar. Para encontrar a matriz dessa transformação, vamos aplicar em cada vetor da base do domínio e expressar o resultado na base do contradomínio.
Passo 3
A base canônica de consiste nas quatro matrizes:
Essas matrizes têm 1 em uma posição e 0 nas outras, facilitando os cálculos.
Passo 4
A base de é fornecida como . Nosso objetivo é expressar os polinômios resultantes da aplicação de nas matrizes da base em termos dessa base .
Passo 5
Vamos aplicar a transformação em cada uma das matrizes da base . A transformação é dada por:
Vamos calcular , , e .
Passo 6
Calculando :
Agora, vamos expressar esse polinômio em termos da base .
Passo 7
Queremos escrever como uma combinação linear de . Seja:
Resolvendo, encontramos os coeficientes que satisfazem a equa��ão.
Passo 8
No caso de , percebemos que apenas a combinação de constantes pode gerar . Portanto, temos: