Seja a base canônica de . Se é dada por
Encontre , em que é base de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar a matriz de representação da transformação linear considerando duas bases específicas. A transformação vai de matrizes para polinômios de grau até 3. Vamos usar a base canônica para as matrizes e uma base dada para os polinômios. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação nas bases e expressar os resultados na base desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear e como representá-la como uma matriz. Transformação linear é uma função que respeita a adição e a multiplicação por escalar. Para encontrar a matriz dessa transformação, vamos aplicar em cada vetor da base do domínio e expressar o resultado na base do contradomínio.

Passo 3

A base canônica de consiste nas quatro matrizes:
Essas matrizes têm 1 em uma posição e 0 nas outras, facilitando os cálculos.

Passo 4

A base de é fornecida como . Nosso objetivo é expressar os polinômios resultantes da aplicação de nas matrizes da base em termos dessa base .

Passo 5

Vamos aplicar a transformação em cada uma das matrizes da base . A transformação é dada por:
Vamos calcular , , e .

Passo 6

Calculando :
Agora, vamos expressar esse polinômio em termos da base .

Passo 7

Queremos escrever como uma combinação linear de . Seja:
Resolvendo, encontramos os coeficientes que satisfazem a equa��ão.

Passo 8

No caso de , percebemos que apenas a combinação de constantes pode gerar . Portanto, temos:
Assim, corresponde ao vetor na base .

Passo 9

Vamos repetir esse processo para :
Agora, expressamos na base .

Passo 10

Queremos . Resolvendo, vemos que:
Logo, corresponde ao vetor na base .

Passo 11

Agora, para :
Vamos expressar na base .

Passo 12

Queremos . Observamos que:
Portanto, corresponde ao vetor na base .

Passo 13

Finalmente, para :
Vamos expressar na base .

Passo 14

Queremos . Observamos que:
Assim, corresponde ao vetor na base .

Resposta

A matriz de representação é:

Exercícios relacionados

Dadas as transformações lineares , assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas: sobrejetiva sobrejetiva.
Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles. , onde .
Sejam transformações lineares dadas por
Encontre uma base para os núcleos de e .