Seja
a base canônica de
. Se
é dada por
Encontre
, em que
é base de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar a matriz de representação da transformação linear
considerando duas bases específicas. A transformação
vai de matrizes
para polinômios de grau até 3. Vamos usar a base canônica para as matrizes e uma base dada para os polinômios. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação
nas bases e expressar os resultados na base desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear e como representá-la como uma matriz. Transformação linear é uma função que respeita a adição e a multiplicação por escalar. Para encontrar a matriz dessa transformação, vamos aplicar
em cada vetor da base do domínio e expressar o resultado na base do contradomínio.
Passo 3
A base canônica
de
consiste nas quatro matrizes:
Essas matrizes têm 1 em uma posição e 0 nas outras, facilitando os cálculos.
Passo 4
A base
de
é fornecida como
. Nosso objetivo é expressar os polinômios resultantes da aplicação de
nas matrizes da base
em termos dessa base
.
Passo 5
Vamos aplicar a transformação
em cada uma das matrizes da base
. A transformação é dada por:
Vamos calcular
,
,
e
.
Passo 6
Calculando
:
Agora, vamos expressar esse polinômio em termos da base
.
Passo 7
Queremos escrever
como uma combinação linear de
. Seja:
Resolvendo, encontramos os coeficientes
que satisfazem a equa��ão.
Passo 8
No caso de
, percebemos que apenas a combinação de constantes pode gerar
. Portanto, temos:
Assim,
corresponde ao vetor
na base
.
Passo 9
Vamos repetir esse processo para
:
Agora, expressamos
na base
.
Passo 10
Queremos
. Resolvendo, vemos que:
Logo,
corresponde ao vetor
na base
.
Passo 11
Agora, para
:
Vamos expressar
na base
.
Passo 12
Queremos
. Observamos que:
Portanto,
corresponde ao vetor
na base
.
Passo 13
Finalmente, para
:
Vamos expressar
na base
.
Passo 14
Queremos
. Observamos que:
Assim,
corresponde ao vetor
na base
.
Resposta
A matriz de representação
é: