Seja beta a base canônica de M(2,2). Se T: M(2,2) P3 é dada por
T([ll a & b c & d ])=a+(b+c) x+(c-d) x^2+d x^3
Encontre [T]alpha^beta, em que alpha=2,2+x, 2+x^2, 2+x^3 é base de P3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar a matriz de representação da transformação linear considerando duas bases específicas. A transformação vai de matrizes para polinômios de grau até 3. Vamos usar a base canônica para as matrizes e uma base dada para os polinômios. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformação nas bases e expressar os resultados na base desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear e como representá-la como uma matriz. Transformação linear é uma função que respeita a adição e a multiplicação por escalar. Para encontrar a matriz dessa transformação, vamos aplicar em cada vetor da base do domínio e expressar o resultado na base do contradomínio.

Passo 3

A base canônica E11 = 1 & 0 0 & 0 , E12 = 0 & 1 0 & 0 , E21 = 0 & 0 1 & 0 , E22 = 0 & 0 0 & 1 de consiste nas quatro matrizes:
Essas matrizes têm 1 em uma posição e 0 nas outras, facilitando os cálculos.

Passo 4

A base de é fornecida como . Nosso objetivo é expressar os polinômios resultantes da aplicação de nas matrizes da base em termos dessa base .

Passo 5

Vamos aplicar a transformação T( a & b c & d ) = a + (b + c)x + (c - d)x^2 + d x^3 em cada uma das matrizes da base . A transformação é dada por:
Vamos calcular , , e .

Passo 6

Calculando T(E11) = T( 1 & 0 0 & 0 ) = 1 + (0 + 0)x + (0 - 0)x^2 + 0x^3 = 1 :
Agora, vamos expressar esse polinômio em termos da base .

Passo 7

Queremos escrever 1 = c1 cdot 2 + c2 cdot (2 + x) + c3 cdot (2 + x^2) + c4 cdot (2 + x^3) como uma combinação linear de . Seja:
Resolvendo, encontramos os coeficientes que satisfazem a equa��ão.

Passo 8

No caso de 1 = (12) cdot 2 + 0 cdot (2 + x) + 0 cdot (2 + x^2) + 0 cdot (2 + x^3) , percebemos que apenas a combinação de constantes pode gerar . Portanto, temos:
Assim, corresponde ao vetor na base .

Passo 9

Vamos repetir esse processo para T(E12) = T( 0 & 1 0 & 0 ) = 0 + (1 + 0)x + (0 - 0)x^2 + 0x^3 = x :
Agora, expressamos na base .

Passo 10

Queremos x = -1 cdot 2 + 1 cdot (2 + x) + 0 cdot (2 + x^2) + 0 cdot (2 + x^3) . Resolvendo, vemos que:
Logo, corresponde ao vetor na base .

Passo 11

Agora, para T(E21) = T( 0 & 0 1 & 0 ) = 0 + (0 + 1)x + (1 - 0)x^2 + 0x^3 = x + x^2 :
Vamos expressar na base .

Passo 12

Queremos x + x^2 = -2 cdot 2 + 1 cdot (2 + x) + 1 cdot (2 + x^2) + 0 cdot (2 + x^3) . Observamos que:
Portanto, corresponde ao vetor na base .

Passo 13

Finalmente, para T(E22) = T( 0 & 0 0 & 1 ) = 0 + (0 + 0)x + (0 - 1)x^2 + 1x^3 = -x^2 + x^3 :
Vamos expressar na base .

Passo 14

Queremos -x^2 + x^3 = -1 cdot (2) + 0 cdot (2 + x) + (-1) cdot (2 + x^2) + 1 cdot (2 + x^3) . Observamos que:
Assim, corresponde ao vetor na base .

Resposta

A matriz de representação [T]alpha^beta = 12 & -1 & -2 & -1 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1 é:

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