Dadas as transformações lineares , assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas: injetiva injetiva.
Verifique que todas as afirmações são verdadeiras se .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas transformações lineares e . A primeira afirmação que precisamos analisar é: “Se é injetiva, então é injetiva”. Além disso, devemos verificar se essa afirmação é verdadeira quando . Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma transformação linear ser injetiva e como a composição de duas transformações afeta essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear injetiva. Uma transformação é injetiva se elementos diferentes de são mapeados para elementos diferentes de . Em outras palavras, se implica que . Isso garante que não há duas entradas distintas que resultem na mesma saída.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação: “Se é injetiva, então é injetiva”.
Suponha que seja injetiva: Isso significa que se , então necessariamente .
Como , temos que .
Como é injetiva, isso implica que .
Mas se leva a , então também é injetiva.
Portanto, se a composição é injetiva, isso força a ser injetiva.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a afirmação é verdadeira quando .
Se , então as transformações se tornam e , com .
Repensando a afirmação: Se é injetiva, então é injetiva.
Isso ainda se aplica porque as propriedades de injetividade não dependem dos espaços serem iguais, mas sim da definição de transformação injetiva que já confirmamos ser mantida na composição.
Portanto, mesmo quando , a afirmação continua sendo verdadeira.
Resposta
(V) A afirmação “BA injetiva implica A injetiva” é verdadeira. Além disso, ela permanece verdadeira quando .