Suponha uma base completa |arang<=,|brang<=,|crang<= de vetores ortonormais, tal que, a ação do operador A seja:
& A|arang<==1raiz2(|arang<=+|brang<=) & A|brang<==1raiz2(|arang<=-|brang<=)
Diagonalize o operador A e obtenha seus autovalores e autovetores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício onde precisa diagonalizar o operador A em uma base completa de vetores ortonormais |arang<=, |brang<=, |crang<=. Diagonalizar significa encontrar os autovalores (valores próprios) e os autovetores (vetores próprios) do operador. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador A na base dada. Sabemos como A age sobre |arang<= e |brang<=, mas não sabemos sobre |crang<=. Como a base é completa e ortonormal, podemos supor que A|crang<= = lambda|crang<=, onde lambda é o autovalor associado a |crang<=. Assim, a matriz de A fica assim:
A = 1raiz2 & 1raiz2 & 0 1raiz2 & -1raiz2 & 0 0 & 0 & lambda

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de A. Para isso, resolvemos o determinante da matriz A - lambda I = 0, onde I é a matriz identidade:
det(A - lambda I) = det 1raiz2 - lambda & 1raiz2 & 0 1raiz2 & -1raiz2 - lambda & 0 0 & 0 & lambda - lambda
Simplificando, temos:
(lambda - lambda) cdot det 1raiz2 - lambda & 1raiz2 1raiz2 & -1raiz2 - lambda = 0
Isso nos dá um autovalor trivial lambda = lambda para |crang<=.

Passo 4

Vamos focar agora nos autovalores provenientes da submatriz 2 times 2:
det 1raiz2 - lambda & 1raiz2 1raiz2 & -1raiz2 - lambda = 0
Calculando o determinante:
(1raiz2 - lambda)(-1raiz2 - lambda) - (1raiz2)^2 = 0
Expandindo:
-12 - lambdaraiz2 + lambdaraiz2 + lambda^2 - 12 = 0
Simplificando:
lambda^2 - 1 = 0 Rightarrow lambda^2 = 1 Rightarrow lambda = pm 1

Passo 5

Agora temos os autovalores:
  • lambda1 = 1
  • lambda2 = -1
  • lambda3 = lambda (associado a |crang<=)
Assumindo que A é definido apenas para |arang<= e |brang<=, e que |crang<= é um vetor próprio com autovalor lambda3, vamos considerar que lambda3 não interfere nos autovalores das submatrizes. Portanto, os autovalores são 1, -1, e lambda3.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para lambda1 = 1:
Resolvemos (A - I)|vrang<= = 0:

$$
1raiz2 - 1 & 1raiz2 1raiz2 & -1raiz2 - 1 va vb = 0 0
va = vb

|v1rang<= = 1raiz2(|arang<= + |brang<=)
$$
Isso leva a lambda2 = -1. Um autovetor possível é (A + I)|vrang<= = 0.
Para 1raiz2 + 1 & 1raiz2 1raiz2 & -1raiz2 + 1 va vb = 0 0 :
Resolvemos va = -vb:

$$
|v2rang<= = 1raiz2(|arang<= - |brang<=)
lambda3

|crang<=
$$
Isso leva a . Um autovetor possível é .
Para , já sabemos que é o autovetor.

Resposta

Os autovalores de A são 1, -1 e lambda, com os respectivos autovetores:
|v1rang<= = 1raiz2(|arang<= + |brang<=), |v2rang<= = 1raiz2(|arang<= - |brang<=), |v3rang<= = |crang<=

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