Suponha uma base completa de vetores ortonormais, tal que, a ação do operador seja:
Diagonalize o operador e obtenha seus autovalores e autovetores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício onde precisa diagonalizar o operador em uma base completa de vetores ortonormais . Diagonalizar significa encontrar os autovalores (valores próprios) e os autovetores (vetores próprios) do operador. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador na base dada. Sabemos como age sobre e , mas não sabemos sobre . Como a base é completa e ortonormal, podemos supor que , onde é o autovalor associado a . Assim, a matriz de fica assim:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de A. Para isso, resolvemos o determinante da matriz A - lambda I = 0, onde I é a matriz identidade:
Assumindo que A é definido apenas para |arang<= e |brang<=, e que |crang<= é um vetor próprio com autovalor lambda3, vamos considerar que lambda3 não interfere nos autovalores das submatrizes. Portanto, os autovalores são 1, -1, e lambda3.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para lambda1 = 1:
Resolvemos (A - I)|vrang<= = 0:
$$ 1raiz2 - 1 & 1raiz2 1raiz2 & -1raiz2 - 1 va vb = 0 0 va = vb
|v1rang<= = 1raiz2(|arang<= + |brang<=)
$$
Isso leva a lambda2 = -1. Um autovetor possível é (A + I)|vrang<= = 0.
Para 1raiz2 + 1 & 1raiz2 1raiz2 & -1raiz2 + 1 va vb = 0 0 :
Resolvemos va = -vb: