Dadas as transformações lineares
.
para cada uma delas, resolva os itens abaixo:
(i) Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão.
é injetora? Justifique.
para cada uma delas, resolva os itens abaixo:
(i) Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo aqui é:
- Encontrar o núcleo (ou kernel) dessa transformação.
- Encontrar uma base para esse núcleo.
- Determinar a dimensão desse subespaço.
- Verificar se
é injetora e justificar a resposta.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como transformação linear, núcleo, base e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja,
Passo 3
Vamos resolver as equações que definem o núcleo:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, podemos expressar
em termos de
:
Da segunda equação, expressamos
em termos de
:
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como:
Passo 5
Isso mostra que todos os vetores no núcleo são múltiplos do vetor
. Portanto, uma base para o núcleo de
é o conjunto
.
Passo 6
A dimensão de um subespaço é o número de vetores na base desse subespaço. Como nossa base para o núcleo tem apenas um vetor, a dimensão de
é 1.
Passo 7
Agora, para verificar se
é injetora, precisamos saber se diferentes vetores em
são mapeados para diferentes vetores em
. Em termos de núcleo,
é injetora se e somente se
contiver apenas o vetor zero.
Mas vimos que
contém todos os múltiplos de
, ou seja, não apenas o vetor zero. Portanto,
não é injetora.
Resposta
O núcleo de
é
. Uma base para esse núcleo é
, e sua dimensão é 1. A transformação
não é injetora, pois seu núcleo contém mais vetores além do vetor zero.