Dadas as transformações lineares T: R^n R^m
(b) T(x, y, z)=(x+y, y+z).
para cada uma delas, resolva os itens abaixo:
(i) Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão. T é injetora? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é:
  1. Encontrar o núcleo (ou kernel) dessa transformação.
  2. Encontrar uma base para esse núcleo.
  3. Determinar a dimensão desse subespaço.
  4. Verificar se é injetora e justificar a resposta.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como transformação linear, núcleo, base e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de Ker(T) = (x, y, z) in R^3 | T(x, y, z) = (0, 0) , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja,

Passo 3

Vamos resolver as equações que definem o núcleo:
T(x, y, z) = (x + y, y + z) = (0, 0)
Isso nos dá o sistema de equações:
x + y = 0 y + z = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, podemos expressar x = -y em termos de z = -y :
(x, y, z) = (-y, y, -y) = y cdot (-1, 1, -1)
Da segunda equação, expressamos em termos de :
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como:

Passo 5

Isso mostra que todos os vetores no núcleo são múltiplos do vetor . Portanto, uma base para o núcleo de é o conjunto .

Passo 6

A dimensão de um subespaço é o número de vetores na base desse subespaço. Como nossa base para o núcleo tem apenas um vetor, a dimensão de é 1.

Passo 7

Agora, para verificar se é injetora, precisamos saber se diferentes vetores em são mapeados para diferentes vetores em . Em termos de núcleo, é injetora se e somente se contiver apenas o vetor zero.
Mas vimos que contém todos os múltiplos de , ou seja, não apenas o vetor zero. Portanto, não é injetora.

Resposta

O núcleo de é . Uma base para esse núcleo é , e sua dimensão é 1. A transformação não é injetora, pois seu núcleo contém mais vetores além do vetor zero.

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