Determine a série de Taylor centrada em x=-4 para a função f(x)=e^-6 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a série de Taylor centrada em para a função . Isso faz parte do conteúdo de séries de Taylor em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como expandir uma função em série de Taylor em torno de um ponto específico, neste caso, .

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é uma série de Taylor. Ela é uma representação de uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. A fórmula geral da série de Taylor de uma função f(x) = sumn=0^infty f^(n)(a)n! (x - a)^n centrada em é:
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

No nosso caso, a função é e o ponto de expansão é . Vamos calcular as derivadas dessa função. Observando que a derivada de é , onde é uma constante.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias:
f(x) = e^-6x
f'(x) = -6 e^-6x
f''(x) = (-6)^2 e^-6x = 36 e^-6x
f^(n)(x) = (-6)^n e^-6x

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto f^(n)(-4) = (-6)^n e^-6(-4) = (-6)^n e^24 :

Passo 6

Substituindo na fórmula da série de Taylor:
f(x) = sumn=0^infty (-6)^n e^24n! (x + 4)^n

Passo 7

Podemos fatorar f(x) = e^24 sumn=0^infty (-6)^nn! (x + 4)^n fora da soma, já que é uma constante:

Resposta

A série de Taylor centrada em f(x) = e^24 sumn=0^infty (-6)^nn! (x + 4)^n para a função é:

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