Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em x=0. ln (1+x1-x)=2 cdot arctan x=2 cdot sumn=0^infty x^2 n+12 n+1(-1)^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que as duas expressões, ln(1+x1-x) e 2 cdot arctan x, podem ser representadas por uma mesma série infinita quando expandidas em Taylor centradas em x=0. Para isso, vamos usar a expansão de Taylor de funções conhecidas e manipular as séries para chegar à conclusão desejada.

Passo 2

Vamos começar lembrando que a expansão em série de Taylor de uma função f(x) centrada em x=0 (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
onde f^(n)(0) é a n-ésima derivada de f(x) avaliada em 0.

Passo 3

Vamos primeiro encontrar a série de Taylor para arctan x. Sabemos que:
arctan x = integral 11 + x^2 dx
A função 11 + x^2 pode ser expandida como uma série geométrica para |x| < 1:
11 + x^2 = sumn=0^infty (-1)^n x^2n
Integrando termo a termo, temos:
arctan x = integral sumn=0^infty (-1)^n x^2n dx = sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 x^2n + 1 + C
Como arctan 0 = 0, a constante de integração C é zero. Portanto:
arctan x = sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 x^2n + 1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por 2, obtemos:
2 cdot arctan x = 2 cdot sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 x^2n + 1 = sumn=0^infty 2(-1)^n2n + 1 x^2n + 1

Passo 5

Agora, vamos analisar a função ln(1+x1-x). Podemos reescrevê-la como a diferença de duas funções logarítmicas:
ln(1+x) - ln(1-x)
Sabemos que a expansão de Taylor para ln(1+x) é:
ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n+1n x^n para |x| < 1
E para ln(1 - x):
ln(1 - x) = -sumn=1^infty x^nn para |x| < 1

Passo 6

Subtraindo as duas séries, temos:
ln(1+x) - ln(1-x) = sumn=1^infty (-1)^n+1n x^n + sumn=1^infty x^nn = sumn=1^infty (-1)^n+1 + 1n x^n
Observando que:
(-1)^n+1 + 1 = 0 & se n é ímpar 2 & se n é par éíé

Passo 7

Portanto, somente os termos com n ímpar sobrevivem na série:
ln(1+x1-x) = 2 sumk=0^infty x^2k+12k + 1
onde k é um inteiro não negativo.

Resposta

Assim, provamos que:
ln(1+x1-x) = 2 cdot arctan x = 2 cdot sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 x^2n + 1

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