Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que as duas expressões,
e
, podem ser representadas por uma mesma série infinita quando expandidas em Taylor centradas em
. Para isso, vamos usar a expansão de Taylor de funções conhecidas e manipular as séries para chegar à conclusão desejada.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a expansão em série de Taylor de uma função
centrada em
(também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
.
Passo 3
Vamos primeiro encontrar a série de Taylor para
. Sabemos que:
A função
pode ser expandida como uma série geométrica para
:
Integrando termo a termo, temos:
Como
, a constante de integração
é zero. Portanto:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por 2, obtemos:
Passo 5
Agora, vamos analisar a função
. Podemos reescrevê-la como a diferença de duas funções logarítmicas:
Sabemos que a expansão de Taylor para
é:
E para
:
Passo 6
Subtraindo as duas séries, temos:
Observando que:
Passo 7
Portanto, somente os termos com
ímpar sobrevivem na série:
onde
é um inteiro não negativo.
Resposta
Assim, provamos que: