Mostre que a matriz a seguir é ortogonal: A=(llll0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a matriz é ortogonal. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre matrizes ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e como verificar essa propriedade usando transposta e produto de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz A^T = A^-1 é ortogonal se a sua transposta A^T times A = I for igual à sua inversa . Em outras palavras:
Outra maneira de verificar se uma matriz é ortogonal é multiplicar pela sua transposta e ver se o resultado é a matriz identidade :
A matriz identidade é aquela que tem 1s na diagonal principal e 0s nas demais posições.

Passo 3

Vamos começar calculando a transposta da matriz A = 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Dada a matriz:
A^T = 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0
A transposta será:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar A^T times A = 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 times 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 por 0 times 0 + 0 times 0 + 1 times 0 + 0 times 1 = 0 e ver se o resultado é a identidade 0 times 0 + 0 times 0 + 1 times 0 + 0 times 0 = 0 . Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.
Multiplicando 0 times 0 + 0 times 1 + 1 times 0 + 0 times 0 = 0 por 0 times 1 + 0 times 0 + 1 times 1 + 0 times 0 = 1 :
A^T times A = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 = I
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
  • Primeira linha, primeira coluna:
  • Primeira linha, segunda coluna:
  • Primeira linha, terceira coluna:
  • Primeira linha, quarta coluna:
Fazendo isso para todas as linhas e colunas, a matriz resultante será:

Resposta

Como , a matriz é realmente ortogonal.

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