Dadas as transformações lineares
.
para cada uma delas, resolva os itens abaixo:
(ii) Determinar a imagem de
, uma base para este subespaço e sua dimensão.
é sobrejetora? Justifique.
para cada uma delas, resolva os itens abaixo:
(ii) Determinar a imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear
definida por
. O que precisamos fazer aqui é encontrar a imagem dessa transformação, identificar uma base para esse subespaço, determinar a sua dimensão e verificar se
é sobrejetora (ou seja, se cobre todo o espaço de chegada).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de
é o conjunto de todos os vetores em
que podemos obter aplicando
a algum vetor de
. Então, queremos saber quais pares
podemos obter a partir de
.
Passo 3
Vamos escrever as equações que definem
:
Essas duas equações relacionam as componentes de entrada
com as de saída
. Para descobrir todos os possíveis
, podemos resolver essas equações para
e
em termos de
:
Isso mostra que para qualquer escolha de
e
, podemos encontrar valores de
,
e
que satisfazem as equações. Ou seja, não há restrições nos valores de
e
.
Passo 4
Como não há restrições nos valores de
e
, a imagem de
é todo o espaço
. Para encontrar uma base desse subespaço, podemos escolher os vetores padrão de
, que são
. Esses vetores são suficientes para gerar qualquer vetor em
, e são linearmente independentes, formando assim uma base. A dimensão desse subespaço é 2, já que precisamos de dois vetores para a base.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é sobrejetora. Uma transformação linear é sobrejetora se a sua imagem cobre todo o espaço de chegada. Já vimos que a imagem de
é
, que é exatamente o espaço de chegada. Portanto,
é sobrejetora.
Resposta
A imagem de
é todo
, uma base para esse subespaço é
, sua dimensão é 2, e a transformação
é sobrejetora.