Dadas as transformações lineares T: R^n R^m
(b) T(x, y, z)=(x+y, y+z).
para cada uma delas, resolva os itens abaixo:
(ii) Determinar a imagem de T, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por . O que precisamos fazer aqui é encontrar a imagem dessa transformação, identificar uma base para esse subespaço, determinar a sua dimensão e verificar se é sobrejetora (ou seja, se cobre todo o espaço de chegada).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de é o conjunto de todos os vetores em que podemos obter aplicando a algum vetor de . Então, queremos saber quais pares podemos obter a partir de .

Passo 3

Vamos escrever as equações que definem u = x + y :
v = y + z
x = u - y
Essas duas equações relacionam as componentes de entrada z = v - y com as de saída . Para descobrir todos os possíveis , podemos resolver essas equações para e em termos de :
Isso mostra que para qualquer escolha de e , podemos encontrar valores de , e que satisfazem as equações. Ou seja, não há restrições nos valores de e .

Passo 4

Como não há restrições nos valores de e , a imagem de é todo o espaço . Para encontrar uma base desse subespaço, podemos escolher os vetores padrão de , que são . Esses vetores são suficientes para gerar qualquer vetor em , e são linearmente independentes, formando assim uma base. A dimensão desse subespaço é 2, já que precisamos de dois vetores para a base.

Passo 5

Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma transformação linear é sobrejetora se a sua imagem cobre todo o espaço de chegada. Já vimos que a imagem de é , que é exatamente o espaço de chegada. Portanto, é sobrejetora.

Resposta

A imagem de é todo , uma base para esse subespaço é , sua dimensão é 2, e a transformação é sobrejetora.

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