Sejam os vetores u=(-1,2,4), v=(1,0,1) e w=(3,2,2). Expresse os seguintes vetores como combinação linear de u, v e w.
a. v=(6,11,6)

Passo 1

Beleza, a gente tem três vetores: , e . A missão aqui é escrever o vetor como uma combinação linear desses três vetores. Isso significa que vamos encontrar números (vamos chamar de , e ) que multiplicados por , e , respectivamente, somem para dar o vetor que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Se eu digo que a cdot u + b cdot v + c cdot w = (6, 11, 6) é uma combinação linear de a cdot (-1, 2, 4) + b cdot (1, 0, 1) + c cdot (3, 2, 2) = (6, 11, 6) , e , isso quer dizer que:
Substituindo os vetores:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar cada escalar pelos vetores:
(-a, 2a, 4a) + (b, 0, b) + (3c, 2c, 2c) = (6, 11, 6)

Passo 4

Em seguida, somamos as componentes correspondentes dos vetores:
(-a + b + 3c, 2a + 0 + 2c, 4a + b + 2c) = (6, 11, 6)
Isso nos dá um sistema de equações:
-a + b + 3c = 6 2a + 2c = 11 4a + b + 2c = 6

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
2a + 2c = 11 Rightarrow a + c = 112 Rightarrow a = 112 - c

Passo 6

Agora, substituímos - ( 112 - c ) + b + 3c = 6 - 112 + c + b + 3c = 6 b + 4c = 6 + 112 b + 4c = 232 b = 232 - 4c na primeira equação:

Passo 7

Agora, substituímos 4 ( 112 - c ) + ( 232 - 4c ) + 2c = 6 2 cdot 11 - 4c + 232 - 4c + 2c = 6 22 - 4c + 11.5 - 4c + 2c = 6 (22 + 11.5) + (-4c -4c + 2c) = 6 33.5 - 6c = 6 -6c = 6 - 33.5 -6c = -27.5 c = -27.5-6 c = 5512 e na terceira equação:

Passo 8

Com a = 112 - c = 112 - 5512 = 6612 - 5512 = 1112 , vamos encontrar b = 232 - 4c = 232 - 4 cdot 5512 = 232 - 22012 = 13812 - 22012 = -8212 = -416 e :

Resposta

Os coeficientes são:
a = 1112, b = -416, c = 5512
Então, a combinação linear fica:
(6, 11, 6) = 1112 cdot u - 416 cdot v + 5512 cdot w

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