Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo , em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo A = 1 & 2 & -1 2 & 4 & -2 -2 & -4 & 2 , onde a matriz é dada por:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com sistemas lineares e espaços de soluções. Vamos precisar entender como resolver sistemas homogêneos e determinar bases para o espaço solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo . Isso significa que queremos encontrar todos os vetores que, ao serem multiplicados por , resultam no vetor zero.
Passo 3
Para resolver isso, vamos montar o sistema de equações a partir da matriz 1x1 + 2x2 - x3 = 0 2x1 + 4x2 - 2x3 = 0 -2x1 -4x2 + 2x3 = 0 :
Passo 4
Observe que a segunda e a terceira equações são múltiplos da primeira. Isso indica que nosso sistema tem infinitas soluções e que podemos expressar algumas variáveis em termos das outras.
Passo 5
Vamos escolher x1 = -2x2 + x3 e como vari��veis livres. Reescrevendo a primeira equação para :
Passo 6
Agora, expressamos todas as variáveis em termos de x1 = -2x2 + x3 x2 = x2 x3 = x3 e :
Passo 7
Podemos escrever o vetor X = x2 -2 1 0 + x3 1 0 1 como uma combinação linear das variáveis livres e :
Passo 8
Portanto, o conjunto de geradores para o espaço solução é formado pelos vetores:
-2 1 0 , 1 0 1
Resposta
Um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema -2 1 0 , 1 0 1 é: