Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo A X=0, em que
A=[rrr1 & 2 & -1 2 & 4 & -2 -2 & -4 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo A = 1 & 2 & -1 2 & 4 & -2 -2 & -4 & 2 , onde a matriz é dada por:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com sistemas lineares e espaços de soluções. Vamos precisar entender como resolver sistemas homogêneos e determinar bases para o espaço solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo . Isso significa que queremos encontrar todos os vetores que, ao serem multiplicados por , resultam no vetor zero.

Passo 3

Para resolver isso, vamos montar o sistema de equações a partir da matriz 1x1 + 2x2 - x3 = 0 2x1 + 4x2 - 2x3 = 0 -2x1 -4x2 + 2x3 = 0 :

Passo 4

Observe que a segunda e a terceira equações são múltiplos da primeira. Isso indica que nosso sistema tem infinitas soluções e que podemos expressar algumas variáveis em termos das outras.

Passo 5

Vamos escolher x1 = -2x2 + x3 e como vari��veis livres. Reescrevendo a primeira equação para :

Passo 6

Agora, expressamos todas as variáveis em termos de x1 = -2x2 + x3 x2 = x2 x3 = x3 e :

Passo 7

Podemos escrever o vetor X = x2 -2 1 0 + x3 1 0 1 como uma combinação linear das variáveis livres e :

Passo 8

Portanto, o conjunto de geradores para o espaço solução é formado pelos vetores:
-2 1 0 , 1 0 1

Resposta

Um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema -2 1 0 , 1 0 1 é:

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