Dadas as transformações lineares T: R^n R^m, definidas por:
T(x, y, z)=(x-y-2 z,-x+2 y+z, x-3 z).
determine:
i) o núcleo de T, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é injetora?
ii) o espaço imagem de T, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T(x, y, z) = (x - y - 2z, -x + 2y + z, x - 3z) definida por:
Vamos precisar utilizar conceitos de núcleo (ou kernel), espaço imagem, dimensão, injeção (para saber se a transformação é injetora) e sobrejeção (para saber se é sobrejetora). Além disso, vamos explorar isomorfismos e como encontrar o inverso dessas transformações quando possível. Vamos passo a passo resolver cada parte do exercício.

Passo 2

Parte i) Encontrar o núcleo de Núc<=o(T) = (x, y, z) in R^3 mid T(x, y, z) = (0, 0, 0) , uma base para ele, sua dimensão e verificar se x - y - 2z = 0 -x + 2y + z = 0 x - 3z = 0 é injetora.

O que é o núcleo?
O núcleo de uma transformação linear x = 3z é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. Em fórmula:
3z - y - 2z = 0 Rightarrow z - y = 0 Rightarrow y = z ú
Vamos resolver:
Temos que:
-3z + 2z + z = 0 Rightarrow 0 = 0
Vamos resolver esse sistema de equações.
Primeiro, da terceira equação:
Núc<=o(T) = (3z, z, z) mid z in R = z(3, 1, 1)
Substituindo Base = (3, 1, 1) na primeira equação:
Agora, substituindo e na segunda equação:
Isso significa que temos uma solução com um parâmetro livre, que é . Então, podemos expressar o núcleo como:
ú
Base para o núcleo:
A base será o vetor que multiplica o parâmetro livre:
Dimensão do núcleo:
Como temos apenas um vetor na base, a dimensão do núcleo é 1.
é injetora?
Uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo contém apenas o vetor zero. Aqui, o núcleo tem dimensão 1, ou seja, existem vetores diferentes de zero que pertencem ao núcleo. Portanto, não é injetora.

Passo 3

Parte ii) Encontrar o espaço imagem de Ima>=m(T) = T(x, y, z) mid (x, y, z) in R^3 , uma base para ele, sua dimensão e verificar se T(x, y, z) = (x - y - 2z, -x + 2y + z, x - 3z) é sobrejetora.

O que é o espaço imagem?
O espaço imagem de A = 1 & -1 & -2 -1 & 2 & 1 1 & 0 & -3 é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando det(A) = 1 cdot (2 cdot (-3) - 1 cdot 0) - (-1) cdot (-1 cdot (-3) - 1 cdot 1) + (-2) cdot (-1 cdot 0 - 2 cdot 1) a qualquer vetor de = 1 cdot (-6 - 0) - (-1) cdot (3 - 1) + (-2) cdot (0 - 2) . Em outras palavras:
= -6 - (-1) cdot 2 + (-2) cdot (-2)
Vamos resolver:
A transformação é dada por:
= -6 + 2 + 4 = 0
Podemos escrever isso como uma matriz:
Base = 1 -1 1, -1 2 0
Para encontrar a imagem, precisamos encontrar o espaço gerado pelas colunas dessa matriz. Vamos verificar a independência linear das colunas.
Passo para encontrar a base:
Vamos ver se as colunas são independentes. Se não forem, descartamos uma delas para ter a base.
Calculamos o determinante da matriz:
O determinante é zero, indicando que as colunas são linearmente dependentes. Então, a base terá duas colunas.
Podemos pegar as duas primeiras colunas como base:
Dimensão do espaço imagem:
Como temos duas colunas na base, a dimensão da imagem é 2.
é sobrejetora?
Para que seja sobrejetora, o espaço imagem deve ser igual ao codomínio, que é . Mas o espaço imagem de tem dimensão 2, enquanto tem dimensão 3. Portanto, não é sobrejetora.

Passo 4

Parte iii) Para os operadores invertíveis, determinar o isomorfismo inverso.

O que é um isomorfismo inverso?
Um isomorfismo é uma transformação linear que é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora) e possui um inverso que também é linear. Se T^-1(T(v)) = v e T(T^-1(w)) = w é invertível, então existe tal que:
Análise:
Nos passos anteriores, vimos que não é injetora nem sobrejetora. Portanto, não é invertível.
Como não é invertível, não podemos determinar um isomorfismo inverso para .

Resposta

i) O núcleo de é o conjunto , com uma base e dimensão 1. não é injetora.
ii) O espaço imagem de é gerado pelos vetores , com dimensão 2. não é sobrejetora.
iii) Como não é invertível, não existe um isomorfismo inverso para .

Exercícios relacionados