Dadas as transformações lineares , definidas por: .
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por:
Vamos precisar utilizar conceitos de núcleo (ou kernel), espaço imagem, dimensão, injeção (para saber se a transformação é injetora) e sobrejeção (para saber se é sobrejetora). Além disso, vamos explorar isomorfismos e como encontrar o inverso dessas transformações quando possível. Vamos passo a passo resolver cada parte do exercício.
Passo 2
Parte i) Encontrar o núcleo de , uma base para ele, sua dimensão e verificar se é injetora.
O que é o núcleo?
O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. Em fórmula:
Vamos resolver:
Temos que:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Primeiro, da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo e na segunda equação:
Isso significa que temos uma solução com um parâmetro livre, que é . Então, podemos expressar o núcleo como:
ú
Base para o núcleo:
A base será o vetor que multiplica o parâmetro livre:
Dimensão do núcleo:
Como temos apenas um vetor na base, a dimensão do núcleo é 1.
é injetora?
Uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo contém apenas o vetor zero. Aqui, o núcleo tem dimensão 1, ou seja, existem vetores diferentes de zero que pertencem ao núcleo. Portanto, não é injetora.
Passo 3
Parte ii) Encontrar o espaço imagem de , uma base para ele, sua dimensão e verificar se é sobrejetora.
O que é o espaço imagem?
O espaço imagem de é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a qualquer vetor de . Em outras palavras:
Vamos resolver:
A transformação é dada por:
Podemos escrever isso como uma matriz:
Para encontrar a imagem, precisamos encontrar o espaço gerado pelas colunas dessa matriz. Vamos verificar a independência linear das colunas.
Passo para encontrar a base:
Vamos ver se as colunas são independentes. Se não forem, descartamos uma delas para ter a base.
Calculamos o determinante da matriz:
O determinante é zero, indicando que as colunas são linearmente dependentes. Então, a base terá duas colunas.
Podemos pegar as duas primeiras colunas como base:
Dimensão do espaço imagem:
Como temos duas colunas na base, a dimensão da imagem é 2.
é sobrejetora?
Para que seja sobrejetora, o espaço imagem deve ser igual ao codomínio, que é . Mas o espaço imagem de tem dimensão 2, enquanto tem dimensão 3. Portanto, não é sobrejetora.
Passo 4
Parte iii) Para os operadores invertíveis, determinar o isomorfismo inverso.
O que é um isomorfismo inverso?
Um isomorfismo é uma transformação linear que é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora) e possui um inverso que também é linear. Se é invertível, então existe tal que:
Análise:
Nos passos anteriores, vimos que não é injetora nem sobrejetora. Portanto, não é invertível.
Como não é invertível, não podemos determinar um isomorfismo inverso para .
Resposta
i) O núcleo de é o conjunto , com uma base e dimensão 1. não é injetora.
ii) O espaço imagem de é gerado pelos vetores , com dimensão 2. não é sobrejetora.
iii) Como não é invertível, não existe um isomorfismo inverso para .