Sabendo-se que |a|=11,|b|=23 e |a-b|=30, determine |a+b|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá as magnitudes (ou comprimentos) de dois vetores, a e b, que são |a| = 11 e |b| = 23. Além disso, também sabemos a magnitude da diferença desses vetores, |a - b| = 30. Nosso objetivo é descobrir a magnitude da soma desses vetores, ou seja, |a + b|. Para isso, vamos usar algumas propriedades dos vetores e das normas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor, como |a|, representa o comprimento desse vetor. Além disso, temos uma propriedade importante que relaciona a norma da soma e da diferença de dois vetores com o produto interno entre eles. As fórmulas são:
|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2,a cdot b
|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2,a cdot b
Onde a cdot b representa o produto interno entre os vetores a e b.

Passo 3

Vamos usar a segunda fórmula para encontrar o produto interno a cdot b. Sabemos que:
|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2,a cdot b
Substituindo os valores que temos:
30^2 = 11^2 + 23^2 - 2,a cdot b
900 = 121 + 529 - 2,a cdot b

Passo 4

Vamos simplificar os cálculos:
900 = 650 - 2,a cdot b
Agora, isolamos o termo com o produto interno:
900 - 650 = -2,a cdot b
250 = -2,a cdot b
Dividindo ambos os lados por -2:
a cdot b = -125

Passo 5

Agora que temos o valor do produto interno, podemos usar a primeira fórmula para encontrar |a + b|:
|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2,a cdot b
Substituindo os valores conhecidos:
|a + b|^2 = 11^2 + 23^2 + 2(-125)
|a + b|^2 = 121 + 529 - 250
|a + b|^2 = 400
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar a norma:
|a + b| = raiz400 = 20

Resposta

A magnitude da soma dos vetores a e b é boxed20.

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