Sabendo-se que
e
, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá as magnitudes (ou comprimentos) de dois vetores,
e
, que são
e
. Além disso, também sabemos a magnitude da diferença desses vetores,
. Nosso objetivo é descobrir a magnitude da soma desses vetores, ou seja,
. Para isso, vamos usar algumas propriedades dos vetores e das normas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor, como
, representa o comprimento desse vetor. Além disso, temos uma propriedade importante que relaciona a norma da soma e da diferença de dois vetores com o produto interno entre eles. As fórmulas são:
Onde
representa o produto interno entre os vetores
e
.
Passo 3
Vamos usar a segunda fórmula para encontrar o produto interno
. Sabemos que:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Vamos simplificar os cálculos:
Agora, isolamos o termo com o produto interno:
Dividindo ambos os lados por -2:
Passo 5
Agora que temos o valor do produto interno, podemos usar a primeira fórmula para encontrar
:
Substituindo os valores conhecidos:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar a norma:
Resposta
A magnitude da soma dos vetores
e
é
.
Exercícios relacionados
Dadas as transformações lineares
, definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão.
é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão.
é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
determine:
i) o núcleo de
ii) o espaço imagem de
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.
Seja o Plano
, calcule: O valor de
para que o plano
seja paralelo a
.
Escreva equações vetorial e paramétrica para os planos descritos abaixo:
passa pelos pontos
e
.