Sabendo-se que e , determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá as magnitudes (ou comprimentos) de dois vetores, e , que são e . Além disso, também sabemos a magnitude da diferença desses vetores, . Nosso objetivo é descobrir a magnitude da soma desses vetores, ou seja, . Para isso, vamos usar algumas propriedades dos vetores e das normas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor, como , representa o comprimento desse vetor. Além disso, temos uma propriedade importante que relaciona a norma da soma e da diferença de dois vetores com o produto interno entre eles. As fórmulas são:
Onde representa o produto interno entre os vetores e .

Passo 3

Vamos usar a segunda fórmula para encontrar o produto interno . Sabemos que:
Substituindo os valores que temos:

Passo 4

Vamos simplificar os cálculos:
Agora, isolamos o termo com o produto interno:
Dividindo ambos os lados por -2:

Passo 5

Agora que temos o valor do produto interno, podemos usar a primeira fórmula para encontrar :
Substituindo os valores conhecidos:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar a norma:

Resposta

A magnitude da soma dos vetores e é .

Exercícios relacionados

Dadas as transformações lineares , definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por .
Seja o Plano , calcule: O valor de para que o plano seja paralelo a .
Escreva equações vetorial e paramétrica para os planos descritos abaixo:
passa pelos pontos e .