Seja o Plano pi: 3 x+y-z-4=0, calcule: O valor de k para que o plano pi1: k x-4 y+4 z-7=0 seja paralelo a pi.

Passo 1

Então, a gente tem dois planos aqui: o plano com a equação e o plano com a equação . A parada é achar o valor de que faz o plano ser paralelo ao plano . Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar quando dois planos são paralelos usando os vetores normais deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada plano tem um vetor normal que é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano. Esse vetor normal indica a direção perpendicular ao plano.

Passo 3

Para o plano , o vetor normal é .

Passo 4

Já para o plano , o vetor normal é .

Passo 5

Dois planos são paralelos se e somente se os vetores normais deles são proporcionais. Ou seja, deve existir um número (k, -4, 4) = lambda (3, 1, -1) tal que:

Passo 6

Vamos igualar componente por componente:
k = 3lambda (1)
-4 = lambda cdot 1 (2)
4 = lambda cdot (-1) (3)

Passo 7

Resolvendo a equação (2) para -4 = lambda implies lambda = -4 :
4 = (-4) cdot (-1) implies 4 = 4 (confere!)
Verificando com a equação (3):

Passo 8

Agora, substituindo k = 3 times (-4) = -12 na equação (1):

Resposta

O valor de que faz o plano ser paralelo ao plano é .

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