Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um exercício sobre transformações lineares. A questão nos apresenta uma função
que vai de
para
, ou seja, de vetores no plano para matrizes 2x2 com números reais. Nosso objetivo é descobrir se essa função
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar lembrar o que define uma transformação linear e como verificar se uma função atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, uma transformação
é linear se satisfaz duas propriedades fundamentais para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
:
- Adição Vetorial:
- Multiplicação por Escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação preserva a estrutura linear do espaço vetorial.
Passo 3
Vamos começar verificando a primeira propriedade, a adição vetorial. Seja
e
. Então:
Agora, somando
e
:
Vemos que
, então a primeira propriedade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a multiplicação por escalar. Seja
um escalar qualquer e
. Então:
Aqui, também vemos que
, então a segunda propriedade também está satisfeita.
Resposta
A função
é uma transformação linear, pois satisfaz as propriedades de adição vetorial e multiplicação por escalar.