Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por .

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um exercício sobre transformações lineares. A questão nos apresenta uma função que vai de para , ou seja, de vetores no plano para matrizes 2x2 com números reais. Nosso objetivo é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar lembrar o que define uma transformação linear e como verificar se uma função atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades fundamentais para quaisquer vetores em e qualquer escalar :
  1. Adição Vetorial:
  2. Multiplicação por Escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação preserva a estrutura linear do espaço vetorial.

Passo 3

Vamos começar verificando a primeira propriedade, a adição vetorial. Seja e . Então:
Agora, somando e :
Vemos que , então a primeira propriedade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a multiplicação por escalar. Seja um escalar qualquer e . Então:
Aqui, também vemos que , então a segunda propriedade também está satisfeita.

Resposta

A função é uma transformação linear, pois satisfaz as propriedades de adição vetorial e multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados

Seja tal que

sendo e bases do e do , respectivamente.
Determinar e uma base para esse subespaço.
Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares:
Dadas as transformações lineares , definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
Sabendo-se que e , determine .