Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
U: R^2 M2(R) dada por U(x, y)=((cc2 y & 3 x -y & x+2 y)).

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um exercício sobre transformações lineares. A questão nos apresenta uma função que vai de para , ou seja, de vetores no plano para matrizes 2x2 com números reais. Nosso objetivo é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar lembrar o que define uma transformação linear e como verificar se uma função atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades fundamentais para quaisquer vetores em e qualquer escalar :
  1. Adição Vetorial:
  2. Multiplicação por Escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação preserva a estrutura linear do espaço vetorial.

Passo 3

Vamos começar verificando a primeira propriedade, a adição vetorial. Seja U(v + w) = U(x1 + x2, y1 + y2) = 2(y1 + y2) & 3(x1 + x2) -(y1 + y2) & (x1 + x2) + 2(y1 + y2) e U(v) + U(w) = 2y1 & 3x1 -y1 & x1 + 2y1 + 2y2 & 3x2 -y2 & x2 + 2y2 = 2(y1 + y2) & 3(x1 + x2) -(y1 + y2) & (x1 + x2) + 2(y1 + y2) . Então:
Agora, somando e :
Vemos que , então a primeira propriedade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a multiplicação por escalar. Seja U(cv) = U(cx, cy) = 2(cy) & 3(cx) -(cy) & (cx) + 2(cy) = c(2y) & c(3x) c(-y) & c(x + 2y) = c 2y & 3x -y & x + 2y = cU(v) um escalar qualquer e . Então:
Aqui, também vemos que , então a segunda propriedade também está satisfeita.

Resposta

A função é uma transformação linear, pois satisfaz as propriedades de adição vetorial e multiplicação por escalar.

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