Seja tal que

sendo e bases do e do , respectivamente.
Determinar e uma base para esse subespaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear que vai de para . A gente tem uma matriz que representa essa transformação nas bases e . Nosso objetivo é encontrar a imagem de , ou seja, todos os possíveis resultados que essa transformação pode dar, e também descobrir uma base para esse subespaço da . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, bases e imagens de funções lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem da transformação , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Para encontrar isso, podemos olhar para as colunas da matriz que representa , porque cada coluna nos dá como age sobre os vetores da base .

Passo 3

A matriz dada é:
Cada coluna dessa matriz representa a imagem de um vetor da base na base . Ou seja:
  • A primeira coluna corresponde a aplicado ao primeiro vetor de .
  • A segunda coluna corresponde a aplicado ao segundo vetor de .
  • A terceira coluna corresponde a aplicado ao terceiro vetor de .

Passo 4

Para encontrar , precisamos ver quais combinações lineares dessas colunas geram o subespaço da . Vamos montar a matriz das colunas e verificar o posto (rank) dessa matriz:
Vamos observar se alguma coluna é combinação das outras. Notamos que a terceira coluna é igual à primeira coluna multiplicada por mais a segunda coluna:
No entanto, vemos que isso não resulta exatamente na terceira coluna , o que indica que as três colunas são linearesmente independentes até certo ponto.

Passo 5

Como temos apenas duas linhas, o máximo de pivôs (elementos não nulos que indicam independência) que podemos ter é 2. Portanto, o posto da matriz é 2, o que significa que a imagem de é todo um subespaço de dimensão 2 em . Na verdade, isso significa que .

Resposta

A imagem de é o espaço todo e uma base para esse subespaço é formada pelos vetores e .

Exercícios relacionados

Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares:
Seja o operador linear

Quais dos seguintes vetores pertencem a ?
a)
b)
c)
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por .
Dadas as transformações lineares , definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.