Seja T: R^3 longrightarrow R^2 tal que
[T]B2^B1=[rrr1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1]
sendo B1=(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1) e B2=(-1,0),(0,-1) bases do R^3 e do R^2, respectivamente.
Determinar Im(T) e uma base para esse subespaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear que vai de para . A gente tem uma matriz que representa essa transformação nas bases e . Nosso objetivo é encontrar a imagem de , ou seja, todos os possíveis resultados que essa transformação pode dar, e também descobrir uma base para esse subespaço da . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, bases e imagens de funções lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem da transformação , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Para encontrar isso, podemos olhar para as colunas da matriz que representa , porque cada coluna nos dá como age sobre os vetores da base .

Passo 3

A matriz dada é:
[T]B2^B1 = 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1
Cada coluna dessa matriz representa a imagem de um vetor da base 1 -1 na base 0 1 . Ou seja:
  • A primeira coluna -1 1 corresponde a aplicado ao primeiro vetor de .
  • A segunda coluna corresponde a aplicado ao segundo vetor de .
  • A terceira coluna corresponde a aplicado ao terceiro vetor de .

Passo 4

Para encontrar 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1 , precisamos ver quais combinações lineares dessas colunas geram o subespaço da -1 cdot 1 -1 + 1 cdot 0 1 = -1 + 0 1 + 1 = -1 2 . Vamos montar a matriz das colunas e verificar o posto (rank) dessa matriz:
-1 1
Vamos observar se alguma coluna é combinação das outras. Notamos que a terceira coluna é igual à primeira coluna multiplicada por mais a segunda coluna:
No entanto, vemos que isso não resulta exatamente na terceira coluna , o que indica que as três colunas são linearesmente independentes até certo ponto.

Passo 5

Como temos apenas duas linhas, o máximo de pivôs (elementos não nulos que indicam independência) que podemos ter é 2. Portanto, o posto da matriz é 2, o que significa que a imagem de é todo um subespaço de dimensão 2 em . Na verdade, isso significa que .

Resposta

A imagem de 1 -1 é o espaço todo 0 1 e uma base para esse subespaço é formada pelos vetores e .

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