Seja
tal que
sendo
e
bases do
e do
, respectivamente.
Determinar
e uma base para esse subespaço.
sendo
Determinar
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear
que vai de
para
. A gente tem uma matriz que representa essa transformação nas bases
e
. Nosso objetivo é encontrar a imagem de
, ou seja, todos os possíveis resultados que essa transformação pode dar, e também descobrir uma base para esse subespaço da
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, bases e imagens de funções lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem da transformação
, denotada por
, é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
. Para encontrar isso, podemos olhar para as colunas da matriz que representa
, porque cada coluna nos dá como
age sobre os vetores da base
.
Passo 3
A matriz dada é:
Cada coluna dessa matriz representa a imagem de um vetor da base
na base
. Ou seja:
- A primeira coluna
corresponde a aplicado ao primeiro vetor de . - A segunda coluna
corresponde a aplicado ao segundo vetor de . - A terceira coluna
corresponde a aplicado ao terceiro vetor de .
Passo 4
Para encontrar
, precisamos ver quais combinações lineares dessas colunas geram o subespaço da
. Vamos montar a matriz das colunas e verificar o posto (rank) dessa matriz:
Vamos observar se alguma coluna é combinação das outras. Notamos que a terceira coluna é igual à primeira coluna multiplicada por
mais a segunda coluna:
No entanto, vemos que isso não resulta exatamente na terceira coluna
, o que indica que as três colunas são linearesmente independentes até certo ponto.
Passo 5
Como temos apenas duas linhas, o máximo de pivôs (elementos não nulos que indicam independência) que podemos ter é 2. Portanto, o posto da matriz é 2, o que significa que a imagem de
é todo um subespaço de dimensão 2 em
. Na verdade, isso significa que
.
Resposta
A imagem de
é o espaço todo
e uma base para esse subespaço é formada pelos vetores
e
.
Exercícios relacionados
Dentre as transformações
definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares:
Seja o operador linear
Quais dos seguintes vetores pertencem a ?
a)
b)
c)
Quais dos seguintes vetores pertencem a
a)
b)
c)
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.
Dadas as transformações lineares
, definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão.
é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão.
é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
determine:
i) o núcleo de
ii) o espaço imagem de
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.