Dadas as transformações lineares
, definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de
, uma base para este subespaço e sua dimensão.
é injetora?
ii) o espaço imagem de
, uma base para este subespaço e sua dimensão.
é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
determine:
i) o núcleo de
ii) o espaço imagem de
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado fala sobre uma transformação linear
definida por
. A gente precisa descobrir o núcleo de
, uma base para ele e sua dimensão, além de verificar se
é injetora. Depois, vamos fazer o mesmo para o espaço imagem de
e ver se
é sobrejetora. Por fim, vamos determinar o isomorfismo inverso para operadores invertíveis. Para isso, vamos usar conceitos como núcleo (ou nulidade), imagem (ou alcance), injetividade, sobrejetividade e isomorfismo em transformações lineares. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja:
Vamos encontrar todas as soluções para a equação
.
Passo 3
Escrevendo as equações resultantes de
, temos:
Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo esse valor na primeira equação:
Agora, podemos expressar
e
em termos de
. Assim, todo vetor no núcleo pode ser escrito como:
Isso significa que o núcleo de
é formado por todos os múltiplos do vetor
.
Passo 4
Agora que temos
, podemos identificar uma base para o núcleo. Como todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar de
, esse vetor sozinho forma uma base para
.
A dimensão do núcleo, também conhecida como nulidade de
, é o número de vetores na base do núcleo. Então, aqui a dimensão é 1.
Quanto à injetividade de
: uma transformação linear é injetora se e somente se seu núcleo contiver apenas o vetor zero. No nosso caso,
contém todos os múltiplos de
, ou seja, além do zero, há infinitos vetores no núcleo. Portanto,
não é injetora.
Passo 5
Agora, vamos analisar o espaço imagem de
, denotado por
. Esse é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a vetores de
. Formalmente:
Pela definição de
:
Vamos identificar uma base para
.
Passo 6
Observando a transformação
, podemos reescrever a imagem como:
Podemos pensar nisso como combinações lineares das colunas da matriz associada a
. A matriz de
é:
As colunas de
são
,
e
.
Vamos verificar a independência linear dessas colunas. Notamos que a terceira coluna pode ser expressa como uma combinação linear das duas primeiras:
Parece que houve um erro nessa suposição. Vamos verificar de outra forma: se não há combinação linear não trivial que faz as colunas serem dependentes, então elas são lineares independentes.
Na verdade, neste caso, as duas primeiras colunas
e
são linearmente independentes, pois nenhuma é múltiplo da outra. A terceira coluna pode ou não ser combinada linearmente dessas duas, mas para fins de base do espaço imagem, apenas precisamos de duas vetores independentes.
Então, uma base para
é formada pelas duas primeiras colunas:
A dimensão da imagem, ou posto de
, é 2.
Passo 7
Agora, vamos verificar se
é sobrejetora, ou seja, se o espaço imagem de
é igual ao espaço de chegada
. Sabemos que a dimensão de
é 2, que é igual à dimensão de
. Portanto,
, e
é sobrejetora.
Passo 8
Por último, vamos falar sobre operadores invertíveis e o isomorfismo inverso. Uma transformação linear
é invertível se ela for bijetora, ou seja, tanto injetora quanto sobrejetora.
No nosso caso, vimos que
não é injetora, então
não é invertível. Portanto, não podemos determinar um isomorfismo inverso para
.
Resposta
i) O núcleo de
é
, com uma base
e dimensão 1.
não é injetora.
ii) O espaço imagem de
é
, com uma base
e dimensão 2.
é sobrejetora.
iii) Como
não é injetora, ela não é invertível, e não existe um isomorfismo inverso para
.
Exercícios relacionados
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
traço de
.
Mostre que cada uma das transformações lineares de
abaixo é um isomorfismo e determine sua transformação linear inversa.
.
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.
Dadas as transformações lineares
, definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão.
é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão.
é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
determine:
i) o núcleo de
ii) o espaço imagem de
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.