Dadas as transformações lineares , definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado fala sobre uma transformação linear definida por . A gente precisa descobrir o núcleo de , uma base para ele e sua dimensão, além de verificar se é injetora. Depois, vamos fazer o mesmo para o espaço imagem de e ver se é sobrejetora. Por fim, vamos determinar o isomorfismo inverso para operadores invertíveis. Para isso, vamos usar conceitos como núcleo (ou nulidade), imagem (ou alcance), injetividade, sobrejetividade e isomorfismo em transformações lineares. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:
Vamos encontrar todas as soluções para a equação .

Passo 3

Escrevendo as equações resultantes de , temos:
Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação, podemos expressar em termos de :
Substituindo esse valor na primeira equação:
Agora, podemos expressar e em termos de . Assim, todo vetor no núcleo pode ser escrito como:
Isso significa que o núcleo de é formado por todos os múltiplos do vetor .

Passo 4

Agora que temos , podemos identificar uma base para o núcleo. Como todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar de , esse vetor sozinho forma uma base para .
A dimensão do núcleo, também conhecida como nulidade de , é o número de vetores na base do núcleo. Então, aqui a dimensão é 1.
Quanto à injetividade de : uma transformação linear é injetora se e somente se seu núcleo contiver apenas o vetor zero. No nosso caso, contém todos os múltiplos de , ou seja, além do zero, há infinitos vetores no núcleo. Portanto, não é injetora.

Passo 5

Agora, vamos analisar o espaço imagem de , denotado por . Esse é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a vetores de . Formalmente:
Pela definição de :
Vamos identificar uma base para .

Passo 6

Observando a transformação , podemos reescrever a imagem como:
Podemos pensar nisso como combinações lineares das colunas da matriz associada a . A matriz de é:
As colunas de são , e .
Vamos verificar a independência linear dessas colunas. Notamos que a terceira coluna pode ser expressa como uma combinação linear das duas primeiras:
Parece que houve um erro nessa suposição. Vamos verificar de outra forma: se não há combinação linear não trivial que faz as colunas serem dependentes, então elas são lineares independentes.
Na verdade, neste caso, as duas primeiras colunas e são linearmente independentes, pois nenhuma é múltiplo da outra. A terceira coluna pode ou não ser combinada linearmente dessas duas, mas para fins de base do espaço imagem, apenas precisamos de duas vetores independentes.
Então, uma base para é formada pelas duas primeiras colunas:
A dimensão da imagem, ou posto de , é 2.

Passo 7

Agora, vamos verificar se é sobrejetora, ou seja, se o espaço imagem de é igual ao espaço de chegada . Sabemos que a dimensão de é 2, que é igual à dimensão de . Portanto, , e é sobrejetora.

Passo 8

Por último, vamos falar sobre operadores invertíveis e o isomorfismo inverso. Uma transformação linear é invertível se ela for bijetora, ou seja, tanto injetora quanto sobrejetora.
No nosso caso, vimos que não é injetora, então não é invertível. Portanto, não podemos determinar um isomorfismo inverso para .

Resposta

i) O núcleo de é , com uma base e dimensão 1. não é injetora.
ii) O espaço imagem de é , com uma base e dimensão 2. é sobrejetora.
iii) Como não é injetora, ela não é invertível, e não existe um isomorfismo inverso para .

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Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por traço de .
Mostre que cada uma das transformações lineares de abaixo é um isomorfismo e determine sua transformação linear inversa.
.
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por .
Dadas as transformações lineares , definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.