Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
P: R^2 R^2 dada por P(x, y)=(x-3 y, 2 x+5 y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar os conceitos de Transformações Lineares da álgebra linear e verificar as propriedades que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes propriedades forem satisfeitas:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar se a função cumpre essas propriedades.

Passo 3

Verificando a propriedade da adição de vetores:
Vamos considerar dois vetores u + v = (x1 + x2, y1 + y2) e P(u + v) = ( (x1 + x2) - 3(y1 + y2), , 2(x1 + x2) + 5(y1 + y2) ) . Primeiro, calculamos = (x1 + x2 - 3y1 - 3y2, , 2x1 + 2x2 + 5y1 + 5y2) :
P(u) = (x1 - 3y1, , 2x1 + 5y1)
P(v) = (x2 - 3y2, , 2x2 + 5y2)
P(u) + P(v) = (x1 - 3y1 + x2 - 3y2, , 2x1 + 5y1 + 2x2 + 5y2)
Agora, calculamos = (x1 + x2 - 3y1 - 3y2, , 2x1 + 2x2 + 5y1 + 5y2) :
Observamos que , então a propriedade da adição de vetores é satisfeita.

Passo 4

Verificando a propriedade da multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor cu = (cx, cy) e um escalar P(cu) = ( cx - 3(cy), , 2(cx) + 5(cy) ) . Primeiro, calculamos = (c x - 3c y, , 2c x + 5c y) :
= c (x - 3 y, , 2x + 5 y)
= c P(u)
Portanto, , o que confirma que a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz ambas as propriedades de uma transformação linear (adição de vetores e multiplicação por escalar), P é uma transformação linear.

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