Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar os conceitos de Transformações Lineares da álgebra linear e verificar as propriedades que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades forem satisfeitas:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar se a função
cumpre essas propriedades.
Passo 3
Verificando a propriedade da adição de vetores:
Vamos considerar dois vetores
e
. Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Observamos que
, então a propriedade da adição de vetores é satisfeita.
Passo 4
Verificando a propriedade da multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor
e um escalar
. Primeiro, calculamos
:
Portanto,
, o que confirma que a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz ambas as propriedades de uma transformação linear (adição de vetores e multiplicação por escalar), P é uma transformação linear.