Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar os conceitos de Transformações Lineares da álgebra linear e verificar as propriedades que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes propriedades forem satisfeitas:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar se a função cumpre essas propriedades.

Passo 3

Verificando a propriedade da adição de vetores:
Vamos considerar dois vetores e . Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Observamos que , então a propriedade da adição de vetores é satisfeita.

Passo 4

Verificando a propriedade da multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor e um escalar . Primeiro, calculamos :
Portanto, , o que confirma que a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz ambas as propriedades de uma transformação linear (adição de vetores e multiplicação por escalar), P é uma transformação linear.

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Dadas as transformações lineares , definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por traço de .
Dadas as transformações lineares , definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
Verifique os axiomas da associatividade e comutatividade do espaço vetorial real , com as operações usuais. Exiba uma base e dê a dimensão.