Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
traço de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma certa função é uma transformação linear. A função em questão é
que recebe uma matriz
de
e retorna o seu traço, ou seja, a soma dos elementos na diagonal principal:
.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma função
é linear se ela respeita duas propriedades:
- Adição:
para quaisquer matrizes e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer escalar e matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Suponha que temos duas matrizes
e
em
. Então:
Então, a função
respeita a propriedade da adição.
Passo 3
Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja
um número real qualquer e
uma matriz em
. Então:
Assim, a função
também respeita a propriedade da multiplicação por escalar.
Resposta
Como a função
respeita tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, ela é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Mostre que cada uma das transformações lineares de
abaixo é um isomorfismo e determine sua transformação linear inversa.
.
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.
Dadas as transformações lineares
, definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão.
é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão.
é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
determine:
i) o núcleo de
ii) o espaço imagem de
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.