Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por traço de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma certa função é uma transformação linear. A função em questão é que recebe uma matriz de e retorna o seu traço, ou seja, a soma dos elementos na diagonal principal: .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma função é linear se ela respeita duas propriedades:
  1. Adição: para quaisquer matrizes e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer escalar e matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Suponha que temos duas matrizes e em . Então:
Então, a função respeita a propriedade da adição.

Passo 3

Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja um número real qualquer e uma matriz em . Então:
Assim, a função também respeita a propriedade da multiplicação por escalar.

Resposta

Como a função respeita tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, ela é uma transformação linear.

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Mostre que cada uma das transformações lineares de abaixo é um isomorfismo e determine sua transformação linear inversa.
.
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por .
Dadas as transformações lineares , definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por .