Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
L: M3 times 3(R) R dada por L(A)=tr A= traço de A=a11+a22+a33.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma certa função é uma transformação linear. A função em questão é que recebe uma matriz de e retorna o seu traço, ou seja, a soma dos elementos na diagonal principal: .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma função é linear se ela respeita duas propriedades:
  1. Adição: para quaisquer matrizes e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer escalar e matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Suponha que temos duas matrizes L(A + B) = tr(A + B) = (a11 + b11) + (a22 + b22) + (a33 + b33) = (a11 + a22 + a33) + (b11 + b22 + b33) = L(A) + L(B) e em . Então:
Então, a função respeita a propriedade da adição.

Passo 3

Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja L(cA) = tr(cA) = c a11 + c a22 + c a33 = c (a11 + a22 + a33) = c L(A) um número real qualquer e uma matriz em . Então:
Assim, a função também respeita a propriedade da multiplicação por escalar.

Resposta

Como a função respeita tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, ela é uma transformação linear.

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