Dadas as transformações lineares , definidas por: .
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! A questão nos dá uma transformação linear definida por . Vamos precisar entender conceitos como núcleo, imagem, injetividade e sobrejetividade para resolver as partes i, ii e iii.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, precisamos resolver:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 3
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira equação:
E da terceira equação, já vimos que . Então, o único vetor no núcleo é .
Passo 4
Então, o núcleo de é apenas o vetor zero. Logo, uma base para o núcleo é o conjunto vazio (já que só temos o vetor zero), e a dimensão do núcleo é 0.
Passo 5
Agora, vamos verificar se é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo contém apenas o vetor zero. Como mostramos que o núcleo de é , concluímos que é injetora.
Passo 6
Vamos para a parte ii: encontrar o espaço imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser escritos como .
Podemos expressar isso como combinações lineares das imagens dos vetores da base padrão de :
Passo 7
Portanto, o espaço imagem é gerado pelos vetores e . Para encontrar uma base, verificamos se esses vetores são linearmente independentes.
Calculamos o determinante da matriz formada por esses vetores:
Como não há um determinante 2x2 para 3 vetores, observamos que os vetores são linearmente independentes porque nenhum é múltiplo do outro.
Passo 8
Então, uma base para o espaço imagem de é , e a dimensão do espaço imagem é 2.
Passo 9
Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Para ser sobrejetora, o espaço imagem precisa ser igual a . Porém, vimos que a dimensão do espaço imagem é 2, que é menor que a dimensão de . Portanto, não é sobrejetora.
Passo 10
Finalmente, na parte iii, precisamos determinar o isomorfismo inverso para operadores invertíveis. Já que é uma transformação de para e não é sobrejetora, ela não é invertível. Portanto, não existe um isomorfismo inverso para .
Resposta
i) O núcleo de é , com uma dimensão igual a 0. é injetora.
ii) O espaço imagem de tem base e dimensão 2. não é sobrejetora.
iii) Não existe isomorfismo inverso para , pois não é invertível.