Mostre que cada uma das transformações lineares de abaixo é um isomorfismo e determine sua transformação linear inversa.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a transformação linear definida por é um isomorfismo. Além disso, precisamos encontrar a transformação inversa de . Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa ser um isomorfismo e como encontrar a inversa de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que preserva operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, já está definida como uma transformação linear de para .

Passo 3

Agora, para mostrar que é um isomorfismo, precisamos provar duas coisas:
  1. Injetora: Cada elemento do domínio é mapeado para um elemento único no contradomínio.
  2. Sobrejetora: Cada elemento do contradomínio é a imagem de pelo menos um elemento do domínio.
Em termos mais simples, um isomorfismo é uma transformação linear que é “perfeita” na correspondência entre os espaços, sem perdas ou repetições.

Passo 4

Para verificar se é um isomorfismo, vamos representar por uma matriz e verificar se essa matriz é invertível. Se a matriz for invertível (ou seja, seu determinante for diferente de zero), então é um isomorfismo.
A matriz associada a é:

Passo 5

Vamos calcular o determinante de para verificar se ela é invertível:
Como o determinante de é diferente de zero, a matriz é invertível. Isso significa que a transformação é um isomorfismo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a transformação inversa . Para isso, precisamos encontrar a matriz inversa de , que chamaremos de .
Dada a estrutura triangular da matriz , calcular sua inversa fica mais simples. A inversa de uma matriz triangular é também triangular, e podemos calcular os elementos da seguinte forma:

Resposta

A transformação inversa de é dada por:

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Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por .
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por .
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por traço de .
Dadas as transformações lineares , definidas por:
.
determine:
i) o núcleo de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é injetora?
ii) o espaço imagem de , uma base para este subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
iii) para os operadores invertíveis, determine o isomorfismo inverso.