Mostre que cada uma das transformações lineares de abaixo é um isomorfismo e determine sua transformação linear inversa. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a transformação linear definida por é um isomorfismo. Além disso, precisamos encontrar a transformação inversa de . Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa ser um isomorfismo e como encontrar a inversa de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que preserva operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, já está definida como uma transformação linear de para .
Passo 3
Agora, para mostrar que é um isomorfismo, precisamos provar duas coisas:
Injetora: Cada elemento do domínio é mapeado para um elemento único no contradomínio.
Sobrejetora: Cada elemento do contradomínio é a imagem de pelo menos um elemento do domínio.
Em termos mais simples, um isomorfismo é uma transformação linear que é “perfeita” na correspondência entre os espaços, sem perdas ou repetições.
Passo 4
Para verificar se é um isomorfismo, vamos representar por uma matriz e verificar se essa matriz é invertível. Se a matriz for invertível (ou seja, seu determinante for diferente de zero), então é um isomorfismo.
A matriz associada a é:
Passo 5
Vamos calcular o determinante de para verificar se ela é invertível:
Como o determinante de é diferente de zero, a matriz é invertível. Isso significa que a transformação é um isomorfismo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a transformação inversa. Para isso, precisamos encontrar a matriz inversa de , que chamaremos de .
Dada a estrutura triangular da matriz , calcular sua inversa fica mais simples. A inversa de uma matriz triangular é também triangular, e podemos calcular os elementos da seguinte forma: