Dado: A amplitude de um oscilador harmônico amortecido cai para
do seu valor inicial após
ciclos completos. Mostre que a razão entre o período da oscilação e o período do mesmo oscilador sem amortecimento é dada por:
onde a aproximação na última expressão é válida se
for grande.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre osciladores harmônicos amortecidos! A questão diz que a amplitude de um oscilador harmônico amortecido cai para
do valor inicial após
ciclos completos. Nosso objetivo é mostrar que a razão entre o período da oscilação amortecida (
) e o período sem amortecimento (
) é:
Vamos precisar entender como o amortecimento afeta o período das oscilações e como relacionar isso com o número de ciclos
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a amplitude de um oscilador harmônico amortecido varia no tempo. A amplitude
diminui exponencialmente com o tempo:
Aqui,
é a amplitude inicial e
é a constante de amortecimento.
Passo 3
Segundo, a questão nos diz que a amplitude cai para
do valor inicial após
ciclos completos. Isso significa que quando
, o tempo
correspondente é o tempo necessário para
ciclos, ou seja:
Onde
é o período da oscilaç��o amortecida.
Passo 4
Vamos igualar a expressão da amplitude no tempo
com
:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Passo 5
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Simplificando:
Então:
Passo 6
Sabemos que, para um oscilador harmônico amortecido, a constante de amortecimento
está relacionada à frequência natural sem amortecimento
e à frequência amortecida
pela relação:
Onde
e
.
Passo 7
Substituindo
da equação anterior:
Mas
e
, então:
Passo 8
Vamos simplificar a equação:
Multiplicando todos os termos por
:
Passo 9
Isolando o termo com
:
Dividindo por
:
Passo 10
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar a razão dos períodos:
Passo 11
Agora, para
grande, podemos fazer uma aproximação usando a expansão de Taylor para
quando
é pequeno. Aqui,
:
Resposta
Assim, mostramos que a razão entre o período da oscilação amortecida e o período sem amortecimento é: