Dado: A amplitude de um oscilador harmônico amortecido cai para 1 / e do seu valor inicial após n ciclos completos. Mostre que a razão entre o período da oscilação e o período do mesmo oscilador sem amortecimento é dada por:
TdT0=(1+14 pi^2 n^2)^1 / 2 approx 1+18 pi^2 n^2
onde a aproximação na última expressão é válida se n for grande.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre osciladores harmônicos amortecidos! A questão diz que a amplitude de um oscilador harmônico amortecido cai para TdT0=(1+14 pi^2 n^2)^1 / 2 approx 1+18 pi^2 n^2 do valor inicial após ciclos completos. Nosso objetivo é mostrar que a razão entre o período da oscilação amortecida ( ) e o período sem amortecimento ( ) é:
Vamos precisar entender como o amortecimento afeta o período das oscilações e como relacionar isso com o número de ciclos .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a amplitude de um oscilador harmônico amortecido varia no tempo. A amplitude A(t) = A0 e^-kt diminui exponencialmente com o tempo:
Aqui, é a amplitude inicial e é a constante de amortecimento.

Passo 3

Segundo, a questão nos diz que a amplitude cai para t = n Td do valor inicial após ciclos completos. Isso significa que quando , o tempo correspondente é o tempo necessário para ciclos, ou seja:
Onde é o período da oscilaç��o amortecida.

Passo 4

Vamos igualar a expressão da amplitude no tempo A0 e^-k n Td = A0e com e^-k n Td = 1e :
Podemos cancelar dos dois lados:

Passo 5

Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para - k n Td = -1 :
k n Td = 1
Simplificando:
k = 1n Td
Então:

Passo 6

Sabemos que, para um oscilador harmônico amortecido, a constante de amortecimento omegad = raizomega0^2 - k^2 está relacionada à frequência natural sem amortecimento e à frequência amortecida pela relação:
Onde e .

Passo 7

Substituindo omegad = raizomega0^2 - (1n Td)^2 da equação anterior:
(2piTd)^2 = (2piT0)^2 - (1n Td)^2
Mas e , então:

Passo 8

Vamos simplificar a equação:
4pi^2Td^2 = 4pi^2T0^2 - 1n^2 Td^2
Multiplicando todos os termos por 4pi^2 = 4pi^2 Td^2T0^2 - 1n^2 :

Passo 9

Isolando o termo com 4pi^2 Td^2T0^2 = 4pi^2 + 1n^2 :
Td^2T0^2 = 1 + 14pi^2 n^2
Dividindo por :

Passo 10

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar a razão dos períodos:
TdT0 = raiz1 + 14pi^2 n^2

Passo 11

Agora, para TdT0 approx 1 + 18pi^2 n^2 grande, podemos fazer uma aproximação usando a expansão de Taylor para quando é pequeno. Aqui, :

Resposta

Assim, mostramos que a razão entre o período da oscilação amortecida e o período sem amortecimento é:
TdT0=(1+14 pi^2 n^2)^1 / 2 approx 1+18 pi^2 n^2

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